Question

Los catetos de un triángulo miden x e y cm, la hipotenusa mide 17 cm; calcular la variación del cateto x (en cm/seg), si y = 5 cm e incrementa en 3 cm/seg.

Answer 1

La variación del cateto  x  es $\bold {-\frac{5\sqrt{66}}{44} \quad cm/seg}$

Explicación paso a paso:  

Del planteamiento se entiende que las distancias  x  y  son variables y que lo hacen en función del tiempo; además sabemos que las podemos relacionar por medio del teorema de Pitagoras:  

(Hipotenusa)²  =  (Cateto Opuesto)²  +  (Cateto Adyacente)²

En el caso que nos ocupa:  

(17)²  =  (x)²  +  (y)²

Ahora bien, la variación en el tiempo no es más que la derivada implícita con respecto al tiempo:

d[(17)²]/dt  =  d[(x)²]/dt  +  d[(y)²]/dt        ⇒      0  =  2x dx/dt  +  2y dy/dt     ⇒  

dx/dt  =  (-y/x) dy/dt

Vamos a calcular el valor de  x  para las condiciones dadas:

(17)²  =  (x)²  +  (y)²        ⇒        (17)²  =  (x)²  +  (5)²        ⇒        

(17)²  -  (5)²  =  (x)²        ⇒        $\bold{x=2 \sqrt{66}}$    

Finalmente calculamos  dx/dt  sustituyendo los valores conocidos en la función derivada:

$\frac{dx}{dt}=-\frac{(5)}{2 \sqrt{66}}(3) \quad \Rightarrow$  

$\bold {\frac{dx}{dt}=-\frac{5\sqrt{66}}{44} \quad cm/seg}$