Question

El tiempo (en minutos) de reacción, f(x), de una plaga de insectos al contacto con un plaguicida está descrita por la función: f(x) = x(9 - x), donde x es la cantidad de insecticida en mg/l (0 < x < 9, se debe usar menos de 9 mg/l de insecticida debido a los costos). ¿Con cuánta cantidad de plaguicida se obtiene el tiempo óptimo para la reacción? ¿Cuál es el tiempo óptimo para la reacción?

Answer 1

Se necesitan 4.5 mg/l de plaguicida para obtener un tiempo óptimo de, y el tiempo óptimo para la reacción es 20.25 minutos

Para poder hallar los valores óptimos de un función f, simplemente debemos determinar los valores para los que la derivada de f es 0, en nuestro caso, la función es

f(x)=x(9-x) = 9x - x²

Y su derivada es

f'(x) = 9 - 2x

Si hacemos esta ecuación igual a 0 y despejamos x, obtenemos el máximo de la función

f'(x) = 0 ⇒ 9 - 2x = 0 ⇒ 2x = 9 ⇒ x = 9/2=4.5

Por lo que la cantidad óptima de insecticida es 4.5 mg/l

Ahora, si queremos obtener el tiempo óptimo, simplemente debemos sustituir 4.5 en vez de x en f(x), es decir

f(4.5) = 4.5(9-4.5)=4.5*4.5 = 81/4 = 20.25

Por lo que el tiempo óptimo de la reacción es 20.25 minutos