Question

////ARITMÉTICA -MÚLTIPLOS////

Answer 1

Veamos

$\displaystyleI=(\underbrace{666\dots66_{(7)}}_{(\overline{abc0}_{(4)})=N\text{ cifras}})^{\overline{abc}!}\\\\J=666\dots66_{(7)}=6(7^{N-1})+6(7^{N-2})+\cdots+6(7)+6\\\\J=6 \sum_{i=0}^{N-1}7^i$

$\displaystyle\text{Hallemos la \'ultima cifra u de }J:\\\\u\equiv\left(6 \sum_{i=0}^{N-1}7^i\right) \mod 10\\ \\-------\\6\equiv 6\mod 10\\6\times 7 \equiv 2\mod 10\\6\times 7^2 \equiv 4\mod 10\\6\times 7^3 \equiv 8\mod 10\\6\times 7^4 \equiv 6\mod 10\\6\times 7^5 \equiv 2\mod 10\\\vdots$

$\text{Se van repitiendo 6,2,4,8. Adem\'as }\overline{abc0}_{(4)} =4(4^2a+4b+c)\text{ es m\'ultiplo de 4}\\\text{es decir que J tiene 4 k cifras, es decir 6,2,4,8, que son residuos de las cifras}\\\text{primera, segunda, tercera y cuarta, respectivamente, se repiten k veces. }\\\text{La suma de 6+2+4+8=20, entonces J termina en 0}\\\\\textbf{Respuesta: }\text{La \'ultima cifra es 0}$

Answer 2

esta es mi otra cuenta !!! AHI ESTA MI OTRA FORMA

analizamos el numero que esta dentro del paréntesis

6666...666₇=10°+r

7^abc0₄ -1=10°+r

analizamos el exponente

abc0₄ = 4. abc₄

7^4.abc₄-1=10°+r

2461^abc₄ -1=10°+r

(10°+1)^abc₄ -1=10°+r

1^abc₄-1=10°+r

0=10°+r

o es multiplo de cualquier numero

10°=10°+r

r=0

(10°+0)^abc!=.......x₁₀

10°^abc!=10°+x

cualquier factorial mayor o igual que 5 siempre va tener un cero en el orden menor del numero

x=0