En una empresa fabricante de mesas desea encontrar la solución a la necesidad de producir mesas rectangulares de tal forma que las dimensiones no sobrepasen 2 m y la suma de su dimensión mayor y el doble de la menor no sea mayor a los 4 m.: Con los datos anteriores: a. Plantee con todos los elementos que caracterizan el modelo de programación lineal, las condiciones del problema, teniendo en cuenta que la función objetivo es Max Z = 2X1 + 2X2. b. Resuélvalo por los métodos simplex y gráfico. c. ¿Cuál es el valor máximo del perímetro para las mesas a fabricar?
Respuestas
El valor máximo del perímetro de las mesas a fabricar es de 6 metros.
a. Planteando con todos los elementos que caracterizan el modelo de programación lineal, las condiciones del problema, teniendo en cuenta que la función objetivo es :
Max Z = 2X1 + 2X2
X1 = dimensión mayor
X2 = dimensión menor
Función objetivo: Maximizar Z = 2X1 + 2X2 (Perímetro)
Condiciones del problema:
X1 ≤ 2
X2 ≤ 2
X1 + 2X2 ≤ 4
Condiciones de no negatividad:
X1 , X2≥ 0
b. Resolución por los métodos simplex y gráfico.
Método Simplex:
Las condiciones del problema se escriben como igualdades agregando variables de holgura:
Función objetivo: Maximizar Z(x1,x2,h1,h2,h3) = 2X1 + 2X2 + 0h1 + 0h2 + 0h3
Condiciones del problema:
X1 + h1 = 2
X2 + h2 = 2
X1 + 2X2 + h3 = 4
Se construye una tabla con los coeficientes de las condiciones y la función objetivo (en negativo):
X1 X2 h1 h2 h3 B
1 0 1 0 0 2 h1
0 1 0 1 0 2 h2
1 2 0 0 1 4 h3
_______________________________
-2 -2 0 0 0 0
La primera solución: Z(0,0,2,2,4) = 0
Se transforma la tabla para obtener una nueva solución, seleccionando la columna pivote, aquella con el número negativo de mayor valor absoluto en la última fila.
Primera columna.
Se selecciona la fila pivote aquella con el menor cociente positivo entre la columna B y la columna pivote.
Los cocientes positivos serian: 2/1 = 2 y 4/1 = 4
Primera fila.
El elemento donde se cruzan la fila y la columna pivote es el elemento pivote. Este se transforma en uno (1) dividiendo la fila pivote entre el valor del elemento pivote.
Se anula el resto de la columna pivote usando el uno como pivote.
Se multiplica fila 1 por (-1) y se suma a la fila 3.
Se multiplica fila 1 por (2) y se suma a la fila 4.
Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote:
X1 X2 h1 h2 h3 B
1 0 1 0 0 2 X1
0 1 0 1 0 2 h2
0 2 -1 0 1 2 h3
____________________________
0 -2 2 0 0 4
La segunda solución: Z(2,0,2,0,2) = 4
Se debe visualizar la última fila de la tabla y, como hay valores negativos, se repite el paso 3.
Segunda columna es columna pivote.
Tercera fila es fila pivote, ya que los cocientes positivos serian:
2/1 = 2 y 2/2 = 1
El elemento pivote es el número dos (2); se divide la fila pivote por dos (2). Se anula el resto de la columna pivote.
Se multiplica fila 3 por (-1) y se suma a la fila 2.
Se multiplica fila 3 por (2) y se suma a la fila 4.
Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote:
X1 X2 h1 h2 h3 B
1 0 1 0 0 2 X1
0 0 1/2 1 -1/2 1 h2
0 1 -1/2 0 1/2 1 X2
_______________________________
0 0 1 0 1 6
La tercera solución: Z(2,1,0,1,0) = 6
La solución máxima de la función objetivo (perímetro) es Z = 6 cuando las dimensiones de la mesa rectangular son: 2 metros por 1 metro.
Método Gráfico
( 0 ,0 ) Z = 2* 0 +2*0 = 0
( 0,2 ) Z = 2*0 + 2*2 = 4
( 1 ,2 ) Z = 2*1 + 2*2 = 6
( 2, 0) Z = 2*2 + 2*0 = 4
La solución máxima de la función objetivo (perímetro) es: Z = 6
c. ¿Cuál es el valor máximo del perímetro para las mesas a fabricar?
El valor máximo del perímetro de las mesas a fabricar es de 6 metros.
