Question

me pueden ayudar porfavor​

Answer 1

Hola :D

Tema: Propiedades de los logaritmos y cambio de base

$\clubsuit \: log_{2}x + log_{4}x + log_{16}x = 7$

Aquí aplicaremos el conocido cambio de base, esto se hará mediante la siguiente consideración:

$\textrm{si} \: log_{a}x \therefore \textrm{CV = } \frac{ log_{c}x }{ log_{c}a }$

CV = Cambio de base

Bueno, la c, que aparece del logaritmo, se refiere a un valor el cual podamos trabajar y aplicar a las demás partes del problema.

Aplicaremos cambio de base a la ecuación, tomando en cuenta a c = 2

Esto debido a que 4 se puede escribir como 2² y 16 como 2⁴:

$\frac{ log_{2}x}{log_{2}2 } + \frac{ log_{2}x}{ log_{2}4 } + \frac{ log_{2}x }{ log_{2}16 } = 7$

Ahora, recordando la definición de logaritmo y su otra forma de escritura (exponencial) tendremos lo siguiente:

$log_{a}b = c \rightarrow {a}^{c} = b$

Ahora, vayamos a resolver los denominadores:

$log_{2}2$

Ahora nos preguntamos: ¿2 elevado a la qué nos da 2?

Obviamente la respuesta es 1, ya 2¹ = 2

y eso se tendrá que poner en el denominador.

Ahora:

$log_{2}4$

Nos preguntamos ¿2 elevado a la qué nos da 4?

Obviamente la respuesta es 2, ya que 2² = 4

Seguimos:

$log_{2}16$

¿2 elevado a la qué nos da 16?

La respuesta es 4, ya que 2⁴ = 16

Ahora, reemplazamos los valores obtenidos en nuestra ecuación:

$\frac{ log_{2}x }{1} + \frac{ log_{2}x}{2} + \frac{ log_{2}x}{4} = 7$

Para hacer lo correspondiente recordemos cierta regla:

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$

Ahora, simplemente la aplicamos:

$\frac{2 log_{2}x + log_{2}x }{2} + \frac{ log_{2}x }{4} = 7$

$\frac{8 log_{2}x + 4 log_{2}x + 2 log_{2}x }{8} = 7$

Pasamos a multiplicar al 8 junto al 7:

$8 log_{2}x + 4 log_{2}x + 2 log_{2}x = 56$

Aquí podemos sumar aritméticamente, esto debido a que poseemos las mismas bases:

$14 log_{2}x = 56$

Pasamos el 14 que está multiplicando, al otro lado a dividir:

$log_{2}x = \frac{56}{14}$

Simplificamos:

$log_{2}x = 4$

Ahora nos preguntamos (conforme a la definición de logaritmo) ¿cuánto es 2 elevado a la 4?

Si hacemos esto, nos daremos cuenta que la respuesta es 16.

$\clubsuit \: 3 lnx - lnx - ln9 = 0$

Podemos hacer un pequeño truco, sacar factor común:

$3 lnx - ( lnx + ln9) = 0$

aplicamos a los paréntesis la primer propiedad de los logaritmos, en la cual se multiplicarán x y 9:

$3 lnx - ( ln9x) = 0$

Regresamos al 3 a la X: $ln{x}^{3}$

Aplicamos la segunda propiedad de los logaritmos, se refiere a la división donde el numerador sera el positivo y el negativo el denominador:

$ln( \frac{ {x}^{3} }{9x} ) = 0$

El Logaritmo Natural es de base e,

aplicamos la definición:

$\frac{ {x}^{3} }{9x} = e ^{0} \rightarrow \frac{ {x}^{3} }{9x} = 1 \rightarrow {x}^{3} = 9x \\ {x}^{3} - 9x = 0$

Sacamos factor común:

$x( {x}^{2} - 9) = 0$

Tenemos un producto notable, el cual es la diferencia de cuadrados, simplemente le sacas la raíz a x² y a 9, y se multiplica por su conjugado:

$x(x + 3)(x - 3) = 0$

Tenemos las siguientes soluciones:

x = 0, 3, - 3

Pero por conveniencia se toma x = 3

$\clubsuit \: log_{6}2x - log_{6}(x + 1) = 0$

Aplicamos la segunda propiedad:

$log_{6}( \frac{2x}{x + 1} ) = 0 \rightarrow \: \frac{2x }{x + 1} = {6}^{0} \\ \frac{2x}{x + 1} = 1 \rightarrow 2x = x + 1 \\ 2x - x = 1 \therefore \boxed{x = 1}$

Espero haberte ayudado,

SALUDOS CORDIALES, AspR178 !!!

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