En una empresa fabricante de mesas desea encontrar la solución a la necesidad de producir mesas rectangulares de tal forma que las dimensiones no sobrepasen 2 m y la suma de su dimensión mayor y el doble de la menor no sea mayor a los 4 m.: Con los datos anteriores: a. Plantee con todos los elementos que caracterizan el modelo de programación lineal, las condiciones del problema, teniendo en cuenta que la función objetivo es Max Z = 2X1 2X2. b. Resuélvalo por los métodos simplex y gráfico. c. ¿Cuál es el valor máximo del perímetro para las mesas a fabricar?

Respuestas

Respuesta dada por: linolugo2006
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Las dimensiones de la mesa rectangular son: 2 metros por 1 metro, cuyo perímetro máximo será  6  metros.

Explicación paso a paso:  

a. Plantee con todos los elementos que caracterizan el modelo de programación lineal, las condiciones del problema, teniendo en cuenta que la función objetivo es Max Z = 2X1 + 2X2  

Llamaremos:  

X1  =  dimensión mayor

X2  =  dimensión menor

Función objetivo:    Maximizar    Z  =  2X1  +  2X2  (Perímetro)

Condiciones del problema:

X1  ≤  2

X2  ≤  2

X1  +  2X2  ≤  4

Condiciones de no negatividad:

X1  ≥  0

X2  ≥  0

b. Resuélvalo por los métodos simplex y gráfico.

Método Simplex

1.- Las condiciones del problema se escriben como igualdades agregando variables de holgura:

Función objetivo:    Maximizar    Z(x1,x2,h1,h2,h3)  =  2X1  +  2X2  +  0h1  +  0h2  +  0h3

Condiciones del problema:

X1  +  h1  =  2

X2  +  h2  =  2

X1  +  2X2  +  h3  =  4

2.- Se construye una tabla con los coeficientes de las condiciones y la función objetivo (en negativo):  

\begin{array}{r|l}\underline {X1 ~ X2 ~ h1 ~ h2 ~ h3 & B}\\1 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \quad 0 & 2 \qquad h1\\0 \quad 1 \quad 0 \quad 1 \quad 0 & 2 \qquad h2\\1\quad 2\quad 0\quad 0\quad 1&4 \qquad h3\\\overline{-2\quad -2\quad 0\quad 0\quad 0&0}\\\end{array}

Se obtiene la primera solución:        Z(0,0,2,2,4)  =  0

3.- Se transforma la tabla para obtener una nueva solución. Para ello:

3.1.- Se selecciona la columna pivote aquella con el número negativo de mayor valor absoluto en la última fila.

Primera columna.

3.2.- Se selecciona la fila pivote aquella con el menor cociente positivo entre la columna B y la columna pivote.

Los cocientes positivos serian: 2/1  =  2    y    4/1  =  4

Primera fila.

3.3.- El elemento donde se cruzan la fila y la columna pivote es el elemento pivote. Este se transforma en uno (1) dividiendo la fila pivote entre el valor del elemento pivote.

3.4.- Se anula el resto de la columna pivote usando el uno como pivote.

Se multiplica fila 1 por (-1) y se suma a la fila 3.

Se multiplica fila 1 por (2) y se suma a la fila 4.

3.5.- Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote,

\begin {array}{r|l}\underline {X1 ~ X2 ~ h1 ~ h2 ~ h3 & B}\\1\quad 0\quad 1\quad 0\quad 0 &2 \qquad X1 \\0\quad 1\quad 0\quad 1\quad 0 &2 \qquad h2 \\0\quad 2-1\quad 0\quad 1 &2 \qquad h3 \\\overline {0\quad -2\quad 2\quad 0\quad 0&4} \\\end {array}

Se obtiene la segunda solución:        Z(2,0,2,0,2)  =  4

4.- Se revisa la última fila de la tabla y, como hay valores negativos, se repite el paso 3.

4.1.- Segunda columna es columna pivote.

4.2.- Tercera fila es fila pivote, ya que los cocientes positivos serian:  

2/1  =  2    y    2/2  =  1

4.3.- El elemento pivote es el número dos (2); se divide la fila pivote por dos (2).

4.4.- Se anula el resto de la columna pivote.

Se multiplica fila 3 por (-1) y se suma a la fila 2.

Se multiplica fila 3 por (2) y se suma a la fila 4.

4.5.- Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote,

\begin{array}{r|l}\underline{X1 ~ X2 ~ h1 ~ h2 ~ h3 & B}\\1\quad 0\quad 1\quad 0\quad 0&2 \qquad X1\\0\quad 0\quad \frac{1}{2} \quad 1 -\frac{1}{2} &1 \qquad h2\\0\quad 1 -\frac{1}{2}\quad 0\quad \frac{1}{2}&1 \qquad X2\\\overline{0\quad 0\quad 1\quad 0\quad 1&6}\\\end{array}

Se obtiene la tercera solución:        Z(2,1,0,1,0)  =  6

5.- Se revisa la última fila de la tabla y, ya que no hay valores negativos, se selecciona la mejor solución.

La solución máxima de la función objetivo (perímetro) es    Z  =  6    cuando las dimensiones de la mesa rectangular son: 2 metros por 1 metro.

Método Gráfico

1.- Las condiciones del problema son las mismas:

2.- Se construye la gráfica anexa con las igualdades que representan las fronteras del polígono solución. Se evalúan los vértices del polígono en la función objetivo y se selecciona como solución máxima la mayor de todas esas evaluaciones:  

\begin {array} {c|l|r}\underline {(X1, X2) & Evaluaci\acute{o}n & Valor Z}\\  (0, 0) &2(0)+2(0) & 0\\ (0, 2) &2(0)+2(2) & 4\\ (1, 2)&2(1)+2(2)&6\\ (2, 0)&2(2)+2(0)&4\\\end {array}

La solución máxima de la función objetivo (perímetro) es    Z  =  6    cuando las dimensiones de la mesa rectangular son: 2 metros por 1 metro.

c. ¿Cuál es el valor máximo del perímetro para las mesas a fabricar?

El valor máximo del perímetro de las mesas a fabricar es de 6 metros.

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