Question

Calcular:
a) F'(t) si F(t)= (arcsec t^2 , sec t^3 , ln^2 t)

Answer 1

La derivada de la función es $F'(t)=  ( 2\frac{t}{ \sqrt{ 1-t^4 } } , 3t^2 sec(t^2)tan(t^3), 2\frac{ln(t)}{t})$

Para poder calcular la derivada de una función vectorial, solo debemos hallar la derivada de cada una de los componentes del vector, por lo que con ayuda de la regla de la cadena podemos resolver el ejercicio en cuestión.

La derivada del primer componente de la función sería la siguiente

$\frac{d (arcsin(t^2))}{dt} = \frac{d(arcsin(t^2))}{d(t^2)}  \frac{d(t^2)}{dt} = 2t\frac{1}{ \sqrt{1 - (t^2)^2}} = \frac{2t}{ \sqrt{1-t^4 } }$

Ahora, si utilizamos la regla de la cadena en el segundo componente

$\frac{d (sec(t^3)) }{dt} = \frac{d ( sec(t^3) )}{d(t^3)} \frac{d(t^3)}{dt} = 3t^2(sec(t^3)tan(t^3))$

Y por último, calculamos la derivada del tercer componente

$\frac{d (ln^2(t))}{dt}  = \frac{d (ln^2(t))}{d(ln(t))} \frac{ d  }{ dt }ln(t) = 2ln(t) \frac{1}{t} = 2\frac{ln(t)}{t}$

Por lo tanto, ya al haber calculado cada una de las derivadas de cada uno de los componentes, simplemente deducimos lo siguiente

$F(t)= (arcsec t^2 , sec t^3 , ln^2 t) \impliesF'(t)=  ( 2\frac{t}{ \sqrt{ 1-t^4 } } , 3t^2 sec(t^2)tan(t^3), 2\frac{ln(t)}{t})$