En una empresa fabricante de mesas desea encontrar la solución a la necesidad de producir mesas rectangulares de tal forma que las dimensiones no sobrepasen 2 m y la suma de su dimensión mayor y el doble de la menor no sea mayor a los 4 m.: Con los datos anteriores: a. Plantee con todos los elementos que caracterizan el modelo de programación lineal, las condiciones del problema, teniendo en cuenta que la función objetivo es Max Z = 2X1 + 2X2. b. Resuélvalo por los métodos simplex y gráfico. c. ¿Cuál es el valor máximo del perímetro para las mesas a fabricar?
Respuestas
Las dimensiones de la mesa rectangular son: 2 metros por 1 metro, cuyo perímetro máximo será 6 metros.
Explicación paso a paso:
a. Plantee con todos los elementos que caracterizan el modelo de programación lineal, las condiciones del problema, teniendo en cuenta que la función objetivo es Max Z = 2X1 + 2X2
Llamaremos:
X1 = dimensión mayor
X2 = dimensión menor
Función objetivo: Maximizar Z = 2X1 + 2X2 (Perímetro)
Condiciones del problema:
X1 ≤ 2
X2 ≤ 2
X1 + 2X2 ≤ 4
Condiciones de no negatividad:
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
b. Resuélvalo por los métodos simplex y gráfico.
Método Simplex
1.- Las condiciones del problema se escriben como igualdades agregando variables de holgura:
Función objetivo: Maximizar Z(x1,x2,h1,h2,h3) = 2X1 + 2X2 + 0h1 + 0h2 + 0h3
Condiciones del problema:
X1 + h1 = 2
X2 + h2 = 2
X1 + 2X2 + h3 = 4
2.- Se construye una tabla con los coeficientes de las condiciones y la función objetivo (en negativo):
Se obtiene la primera solución: Z(0,0,2,2,4) = 0
3.- Se transforma la tabla para obtener una nueva solución. Para ello:
3.1.- Se selecciona la columna pivote aquella con el número negativo de mayor valor absoluto en la última fila.
Primera columna.
3.2.- Se selecciona la fila pivote aquella con el menor cociente positivo entre la columna B y la columna pivote.
Los cocientes positivos serian: 2/1 = 2 y 4/1 = 4
Primera fila.
3.3.- El elemento donde se cruzan la fila y la columna pivote es el elemento pivote. Este se transforma en uno (1) dividiendo la fila pivote entre el valor del elemento pivote.
3.4.- Se anula el resto de la columna pivote usando el uno como pivote.
Se multiplica fila 1 por (-1) y se suma a la fila 3.
Se multiplica fila 1 por (2) y se suma a la fila 4.
3.5.- Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote,
Se obtiene la segunda solución: Z(2,0,2,0,2) = 4
4.- Se revisa la última fila de la tabla y, como hay valores negativos, se repite el paso 3.
4.1.- Segunda columna es columna pivote.
4.2.- Tercera fila es fila pivote, ya que los cocientes positivos serian:
2/1 = 2 y 2/2 = 1
4.3.- El elemento pivote es el número dos (2); se divide la fila pivote por dos (2).
4.4.- Se anula el resto de la columna pivote.
Se multiplica fila 3 por (-1) y se suma a la fila 2.
Se multiplica fila 3 por (2) y se suma a la fila 4.
4.5.- Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote,
Se obtiene la tercera solución: Z(2,1,0,1,0) = 6
5.- Se revisa la última fila de la tabla y, ya que no hay valores negativos, se selecciona la mejor solución.
La solución máxima de la función objetivo (perímetro) es Z = 6 cuando las dimensiones de la mesa rectangular son: 2 metros por 1 metro.
Método Gráfico
1.- Las condiciones del problema son las mismas:
2.- Se construye la gráfica anexa con las igualdades que representan las fronteras del polígono solución. Se evalúan los vértices del polígono en la función objetivo y se selecciona como solución máxima la mayor de todas esas evaluaciones:
La solución máxima de la función objetivo (perímetro) es Z = 6 cuando las dimensiones de la mesa rectangular son: 2 metros por 1 metro.
c. ¿Cuál es el valor máximo del perímetro para las mesas a fabricar?
El valor máximo del perímetro de las mesas a fabricar es de 6 metros.
