Question

Como se resuelve log X=1-log (X-9) ??

Answer 1

El problema planteado se resuelve como se muestra a continuación, y el resultado que satisface la ecuación es para X  = 10  

Calculando el valor de X de : $log\:X=1-log\:\left(X-9\right)$

Sumar $\log _{10}\left(x-9\right)$ ambos lados

$\log _{10}\left(x\right)+\log _{10}\left(x-9\right)=1-\log _{10}\left(x-9\right)+\log _{10}\left(x-9\right)$

$\log _{10}\left(x\right)+\log _{10}\left(x-9\right)=1$

Aplicar propiedad de logaritmo: $\log _c\left(a\right)+\log _c\left(b\right)=\log _c\left(ab\right)$

$\log _{10}\left(x\right)+\log _{10}\left(x-9\right)=\log _{10}\left(x\left(x-9\right)\right)$

$\log _{10}\left(x\left(x-9\right)\right)=1$

Utilizando la propiedad : SI $\log _a\left(b\right)=c\:\mathrm{then}\:b=a^c$

$\log _{10}\left(x\left(x-9\right)\right)=1\quad \Rightarrow \quad \:x\left(x-9\right)=10^1$

$x\left(x-9\right)=10^1$

$x\left(x-9\right)=10$

Desarrollar

$x^2-9x=10$

$x^2-9x-10=0$

Resolver la ecuación de segundo grado:  $x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

para : $a=1,\:b=-9,\:c=-10:\quad x_{1,\:2}=\frac{-\left(-9\right)\pm \sqrt{\left(-9\right)^2-4\cdot \:1\left(-10\right)}}{2\cdot \:1}$

$x=\frac{-\left(-9\right)+\sqrt{\left(-9\right)^2-4\cdot \:1\left(-10\right)}}{2\cdot \:1} = 10$

$x=\frac{-\left(-9\right)-\sqrt{\left(-9\right)^2-4\cdot \:1\left(-10\right)}}{2\cdot \:1} = -1$

Verificando las soluciones

Para x = -1 no satisface la ecuación y para x = 10 Si cumple, por lo tanto la solución al problema es X = 10