Question

El área del círculo que pasa por los puntos (1, 1), (1, 7) y (9, 1) se puede expresar en la forma kπ. Determina el valor de k. (Por favor ayudenme, es urgente)

Answer 1

El valor de k que satisface la expresión del área del circulo es:

k = 25

Supongamos que queremos hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 1), (1, 7) y (9, 1). Al asumir la ecuación de la circunferencia de forma general:

x² + y² + Ax + By + C = 0

siendo;

A = -2h

B = -2k

C = h² + k² - r²

Sustituimos, los puntos:

(1, 1) |  (1)² + (1)² + A(1) + B(1) + C = 0

(1, 7) | (1)² + (7)² + A(1) + B(7) + C = 0

(9, 1)| (9)² + (1)² + A(9) + B(1) + C = 0

A + B + C = -2

A + 7B + C = -50

9A + B + C = -82

Despejo A de A + B + C = -2;

A = -2 - B - C

Sustituyo A en A + 7B + C = -50;

(-2 - B - C) + 7B + C = -50

-2 + 6B  = -50

despejo B;

6B = -50+2

B = -48/6

B = -8

Sustituyo A en 9A + B + C = -82;

9(-2 - B - C) + B + C = -82

-18 -9B -9C + B +C = -82

-8B -8C = -64

Sustituyo  B;

-8(-8) -8C = -64

Despejo C;

-8C = -64 -64

C = -128/-8

C = 16

Sustituyo B y C en A;

A = -2 - (-8) - (16)

A = -10

Si;

A = -2h ⇒ -10 = -2h  ⇒ h = 5

B = -2k  ⇒  -8 = -2k  ⇒  k = 4

C = h² + k² - r²  ⇒  16 = (5)² + (4)² - r²  ⇒   r² =  25 + 16 -16   ⇒   r² =  25  

r = √25  ⇒   r = 5

El área de un circulo esta dada por la expresión: kπ

y en teoría el área es: A = πr²

kπ = πr²

k = r²     →   k = 25