Question

En un laboratorio, en ciertas condiciones, una colonia de bacterias triplica el número de sus habitantes cada día, completa la tabla considerando que cuando comenzó el conteo habían 10 bacterias.

Answer 1

La función que describe el sistema es P_n = 3^n * 10 donde n es el número de días desde que se inicia el conteo

Para poder llega hay que utilizar un método que se conoce como método de inducción por recursión

Cuando hablamos de recursión, nos referimos a que el estado actual de un sistema depende directamente de su(s) estado(s) anterior(es), en nuestro caso sabemos que la población de bacterias es el triple de día anterior, por lo que la podemos verificar que se cumple lo siguiente

$P_n = 3P_{n+1}$

Donde P_n es la población en el enésimo día. Sabiendo esto, se debe emplear el método de inducción para verificar que la ecuación $P_n = 3^nP_0$ cumple la condición (nota: P_0 = 10 es la población inicial)

El método de inducción consiste en lo siguiente

1. Verificar que la fórmula funciona para n = 0
2. Suponer que esta funciona para un valor k
3. Verificar que se cumple para k + 1

Por lo que debemos tomar lo siguiente

$P_n = 3^n P_0\\\\P_0 = 3^0 P_0\\P_0 = P_0$

Que es verdad, ahora, asumiendo que esta fórmula funciona para un número k > 0, tenemos lo siguiente

$P_k = 3^k P_0\\\\P_{k+1} = 3P_{k} = 3(3^k P_0) = 3^{1+k}P_0 = 3^{k+1}P_0$

Vemos que la ecuación también se cumple para P_{k+1}, por lo que la expresión es verdadera

Una vez verificado esto y sabiendo que P_0 = 10, podemos deducir que la población de bacterias pasados n días es P_n = 3^n *10