Lee y analiza el siguiente planteamiento: Una partícula se mueve en línea recta y su desplazamiento (en metros) está dado por la función: 〖f(S)=〗〖t^2-8t 25〗 Donde t se mide en segundos. 2. En un archivo de algún procesador de texto desarrolla lo siguiente: a) Encuentra la velocidad promedio en cada uno de los siguientes intervalos de tiempo: [3,4] [3.5,4] [4,4.5] b) ¿En qué intervalo se observa mayor velocidad promedio? 3. Calcula f'(t) a)Encuentra la velocidad instantánea cuando t = 4. b)¿Cuál es el significado de la derivada f'(t) de la función de posición? 4.Describe 3 ejemplos de tu vida cotidiana en los que se puede aplicar el concepto de velocidad instantánea o razón de cambio instantáneo.
Respuestas
- La partícula se desplaza en linea recta, y para los intervalos de tiempo: [3,4] [3.5,4] [4,4.5] tendrá una velocidad promedio de V =2m/s, y para estos intervalos su velocidad promedio se mantiene constante
- La derivada de la función que describe su movimiento es S'(t) = 2t - 8.
- Durante su trayectoria la particula cuando t=4s tendra una velocidad de nula V = 0m/s , La derivada de la función posición es la función velocidad.
- 3 ejemplos de velocidad instantánea son:
1.- Teniendo el comportamiento polinomico del lanzamiento de un balón sobre algún aro, y requerimos la velocidad cuando cae al suelo
2.- Velocidad de un auto de formula una cuando ha recorrido una trayectoria y tenemos el valor del tiempo
3.- Velocidad que llevamos cuando ha trascurrido cierto tiempo y estamos trotando
Explicación paso a paso:
Para la función S(t) = t²-8t+25, calculamos las velocidades promedio en funcion del tiempo, derivando la funcion S(t)
V(t) =S'(t) = 2t - 8
La formula para calcular la velocidad promedio
Vm = f(b) - f(a) /b -a
Donde a y b son los limites a evaluar
[3,4] = [a,b]
Vm = (2*4-8)-(2*3-8)/4-3
Vm = 2m/s
[3.5,4] = [a,b]
Vm = (2*4-8)-(2*3.5-8)/4-3.5
Vm = 2m/s
[4,4.5] = [a,b]
Vm = (2*4.5-8)-(2*4-8)/4.5-4
Vm = 2m/s
La velocidad promedio se mantiene constante en los intervalos de tiempo calculados V = 2m/s
La derivada f'(t) es
V(t) =S'(t) = 2t - 8
La velocidad cuando t=4s
V(t) = 2t - 8 [m/s]
V = 2(4) - 8
V = 0m/s
La derivada de la función posición es la función velocidad, Para poder calcular la velocidad un tiempo t, debemos lograr que el intervalo de tiempo sea los mas pequeño, es decir que limite tienda a 0, y esta argumento matemático se conoce como derivada
3 Ejemplos de velocidad instantánea
Sabiendo que la velocidad instantánea es el valor que un cuerpo adquiere en cierto instante t, algunos ejemplos donde lo podemos notar en nuestro al rededor es:
1.- Teniendo el comportamiento polinomico del lanzamiento de un balón sobre algún aro, y requerimos la velocidad cuando cae al suelo
2.- Velocidad de un auto de formula una cuando ha recorrido una trayectoria y tenemos el valor del tiempo
3.- Velocidad que llevamos cuando ha trascurrido cierto tiempo y estamos trotando