Un asteroide --parte del cinturón de asteroides de nuestro sistema solar-- tiene una órbita dada por LaTeX: \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2}=1 x 2 a 2 y 2 b 2 = 1 donde LaTeX: a= a = 2.32, LaTeX: b= b = 2.82, y las distancias están dadas en AUs (unidad astronómica). ¿Cuántos años tarda este asteroide en completar una revolución?
Respuestas
El periodo de un asteroide de masa M que tiene una órbita elíptica segun x²/2.32² + y²/2.82² = 1 sobre el sol es de T = 4.986*10¹⁵ √1/M [años]
Explicación paso a paso:
Para dar un valor exacto es necesario tener la masa del asteroide, ya que la ecuacion para el calculo del periodo en una órbita elíptica esta dada por la siguiente expresión:
T = √4π²a³/GM
Donde:
G : Constante de gravitación universal = 6.67*10¹¹Nm²/kg²
M : Masa
a : Distancia del semi-eje mayor de la elipse
De la ecuacion de la elipse x²/2.32² + y²/2.82² = 1, tenemos que a = 2.32UA
- convertimos UA a m
1 UA = 149.6*10⁹m
2.32UA * 149.6*10⁹m/1 UA = 3.47*10¹¹m
El valor del periodo estará en función de la masa del asteroide
T = √4π²( 3.47*10¹¹m)³/6.67*10⁻¹¹Nm²/kg²*M [s]
T = √(4π²( 3.47*10¹¹m)³/6.67*10⁻¹¹Nm²/kg²)*√1/M [s]
- Convertimos en años
T = 1.5725*10²³√1/M [s] (1h/3600s)(1dia/24h)(1año/365dia)
T = 4.986*10¹⁵ √1/M [años]