Question

porque para obtener la medida de una circunferencia o el area de un circulo siempre utilizamos como uno de los factores el numero 3.1416

Answer 1

Para hallar la circunferencia del círculo, se utiliza la fórmula r*2pi, 2pi significa la sexta parte de la circunferencia de cualquier círculo, es un radián, así como las funciones trigonométricas, es un número fijo, así que se debe relacionar a un radio, el radio es un radián, es la sexta parte de la circunferencia, el radio es igual a 2pi, por eso es tan importante el uso de pi en las fórmulas referentes a círculos.

Answer 2

Las medidas a las que te refieres son: el área y la longitud
Uno de los primeros que halló las dimensiones del círculo fue Arquímides, con la ayuda de polígonos regulares. Y como en la circunferencia lo que queda constante es el radio, entonces las longitudes tienen algo que ver con el radio. Así los griegos ya notaron que si dividían la longitud de la circunferencia entre su diámetro les daba un número que era constante sea cual fuere la circunferencia, ellos hallaron valores aproximados a $\pi$ si mal no recuerdo una de las aproximaciones era
                               $\pi \approx \frac{22}{7}$

O sea, si $D$ es el diámetro y $C$ la longitud de la circunferencia, se tiene

                                    $\frac{C}{D}=\pi$

entonces de aquí tenían una fórmula para hallar la longitud de la circunferencia
$C=\pi D = 2\pi r$

El área, como dije, fue obtenida mediante polígonos regulares inscritos y circunscritos

no sé si viste el área de polígonos regulares

pero yo creo que lo hicieron así, suponiendo que el teorema de Pitágoras era conocido en ese tiempo

imagina un polígono de $n$ lados inscrito en el circulo

$A$ que sea el apotema y 
$r$ el radio del círculo


toma el menor triángulo isósceles cuyo vértice está en el centro de la circunferencia, y los otros sobre la circunferencia

$B$ que sea la longitud de la base de este triángulo menor
entonces área de este triángulo es $S=AB/2$

pero como son $n$ triángulos, el área del polígono es

$S=ABn/2$

fijate que $Bn$ es el perímetro del polígono inscrito, por ello notarás que
$Bn \leq 2\pi r$

cuanto mayor sea $n$, $B$ está más cerca de $2\pi r$
y el apotema $A$ más cerca del radio $r$, un razonamiento análogo se obtiene con un polígono circunscrito

                         $A\approx r \\ Bn \approx 2\pi r$

entonces

$ABn/2\approx \pi r^2$

Etcétera.