Una persona conduce un auto en la carretera 10 de San Antonio a Houston, la mitad del tiempo va a 55 km/h y la otra mitad va a 90 km/h. Al regreso, viaja la mitad de la distancia a 55 km/h y la otra mitad a 90 km/h. ¿cuál es la rapidez promedio para todo el viaje?
Respuestas
Una persona conduce un auto en la carretera de San Antonio a Houston, y luego de regreso. La rapidez promedio para todo el viaje es 72.5 Km/h.
Usamos primero la rapidez media de San Antonio a Houston. Se sabe que en la mitad del trayecto viajó a 55 km/h y, en la otra mitad viajó a 90 km/h
Dividimos el trayecto el 2 intervalos de tiempo iguales, llamamos t₁ a este intervalo, es decir: t₁/2 viajando a 55 km/h y t₁/2 viajando a 90 km/h.
La distancia recorrida a una rapidez de 55 Km/h será
d1 = 55(t₁/2) = (55/2)t₁
La distancia recorrida a una rapidez de 90 Km/h será
d2= 90(t₁/2) = 45t1
La rapidez media v1 desde San Antonio hasta Houston:
v1 = ( (55/2)t₁+ 45t₁ )/(t₁) = 72.5 Km/h
Usamos ahora la rapidez media de Houston a San Antonio. Se sabe que en la mitad del trayecto viajó a 55 km/h y, en la otra mitad viajó a 90 km/h.
Dividimos el trayecto de regreso en 2 intervalos de tiempo iguales, si llamamos t₂ a este intervalo, se tiene t₂/2 viajando a 55 km/h y t₂/2 viajando a 90 km/h.
La distancia recorrida a una rapidez de 55 Km/h será
d1 = 55(t₂/2) = (55/2)t₂
La distancia recorrida a una rapidez de 90 Km/h será
d2= 90(t₂/2) = 45t₂
La rapidez media v2 desde Houston hasta San Antonio:
v2 = ( (55/2)t₂+ 45t₂ )/(t₂) = 72.5 Km/h
Sabemos que la distancia desde Houston hasta San Antonio y viceversa mide lo mismo. Luego, la distancia total del viaje seria d₁ + d₂ = D
d₁=D/2
d₂=D/2
El tiempo empleado en cada parte del trayecto es:
Trayecto 1:
t₁=(D/2)/72.5= D/145
Trayecto 2:
t₂= (D/2)/72.5 = D/145
Tiempo total del viaje:
t₁+t₂ =D/145+D/145=2D/145
t=2D/145
Finalmente, la rapidez media de todo el viaje se consigue dividiendo la distancia total recorrida entre el tiempo total empleado para recorrerlo:
V=D/t=D/(2D/145)
V=145/2=72.5 Km/h
La rapidez promedio para todo el viaje es 72.5 Km/h.
La rapidez media para todo el viaje es Vm =69 Km/h
Definimos primero la distancia entre las dos ciudades y la llamamos "X", entonces la rapidez promedio de todo el viaje por definición es la distancia total recorrida entre el tiempo total empleado en recorrerla.
- Vm = dT / tT
Como definimos la distancia entre las dos ciudades "X", la distancia total es:
- dt = 2 * X
El tiempo total lo obtenemos de la suma del tiempo de los cuatro intervalos conocidos, tT = t1 + t2 + t3 + t4:
TIEMPO1
- t1 = d1 / V1, donde d1 es la distancia recorrida por el auto a 55Km/h durante la mitad del recorrido SA-H
- t1 = d1 / 55
TIEMPO2
- t2 = (X - d1) / V2
- t2 = (X -d1) / 90
Como sabemos que t1 = t2, por condiciones del problema, igualamos para hallar el valos de d1 en funcion de X:
- d1/55 = (X-d1)/90
- d1 = (55/145) * X
Sustituimos el valor de d1 en las expresiones anteriores:
TIEMPO1
- t1 = X/145
TIEMPO2
- t2 = X/145
TIEMPO3.
- t3 = (X/2) / V3
- t3 = (X/2) / 90
- t3 = X/180
TIEMPO4
- t4 = (X/2) / V4
- t4 = (X/2) / 55
- t4 = X / 110
Entonces calculamos la velocidad media Total del recorrido:
- Vm = dT / tT
- Vm = 2 * X / (t1 +t2 + t3 +t4)
- Vm = 2 * X / (( X/145)+ (X/145)+(X/180) + (X/110))
- Vm = 2 * X / 0.029 * X
- Vm = 69 Km/h