Question

Un silo consta de un cilindro con una parte superior semiesférica. Determina la longitud del radio del silo con un volumen V, que tiene la menor área de superficie, incluye la tapa inferior.

Answer 1

El área superficial del silo se minimiza cuando el radio es igual a $\bold {r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}\quad cm}$.

Explicación paso a paso:

La función objetivo es el área superficial del sólido. Si llamamos h la altura de la porción cilíndrica y r el radio de esta porción y de la semiesfera; la función objetivo viene dada por la suma de las áreas del contorno, la cara inferior circular y la cara superior semiesférica:

$A=2\pi rh+\pi r^{2}+2\pi r^{2}=2\pi rh+3\pi r^{2}$

Lo conveniente es que el área esté expresada solo en función del radio, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar h en función de r:

$V=\pi r^{2}h+\frac{2}{3}\pi r^{3}\qquad \Rightarrow$  

$h=\frac{V-\frac{2}{3}\pi r^{3}}{\pi r^{2}}$

por tanto la función objetivo es

$A=\frac{2V}{r} +\frac{4}{3} \pi r^{2}$

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.  

$A'=-\frac{2V}{r^{2}} +\frac{8}{3} \pi r$

$A'=0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{2V}{r^{2}} +\frac{8}{3} \pi r=0\quad \Rightarrow$

$-2V+\frac{8}{3} \pir^{3}=0\quad \Rightarrow$

$\bold{r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}}$  

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.  

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.  

$A''=\frac{4V}{r^{3}} +\frac{8}{3} \pi$

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

$A''_{\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi} }}>0\quad \Rightarrow \quad r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi} }$ es un mínimo de la función A.