¿Cuáles son las dimensiones del cilindro circular recto de máxima área lateral que puede inscribirse en una esfera de radio de ocho pulgadas?
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Si cortas la esfera con un plano que contenga al eje del cilindro, y otro perpendicular a ese mismo eje, (también al centro de la esfera), se forma un triángulo rectángulo
formado por R (hipotenusa) y radio de la esfera, y por catetos a
r radio del cilindro y h/2 mitad de su altura. Por Pitágoras podemos
escribir
R^2 = r^2 + (h/2)^2 = r^2 + h^2 /4
Si R = 8 ----> R^2 = 64 reemplazando este valor
64 = r^2 + h^2 /4 si multiplicamos ambos miembros por 4
256 = 4 *r^2 + h^2 si despejo h y saco la raíz
h = √(256 - 4*r^2) = 2 *√ (64 - r^2)
El área lateral del cilindro es
AL = 2 *π *r *h reemplazando el valor de h hallado
AL = 4 *π *r *√ (64 - r^2)
Calculemos la derivada de AL respecto a r
d(AL)/dr = 4 *π *(√ (64 - r^2) + r *( - r / √ (64 - r^2)
d(AL)/dr = 4 *π *(√ (64 - r^2) - r^2/ √ (64 - r^2) )
La igualamos a 0 para sacar el máximo (o también el mínimo) y obtenemos
√ (64 - r^2) = r^2/ √ (64 - r^2) multiplicando por √ (64 - r^2)
(64 - r^2) = r^2, despejando r y sacando la raíz
r = √ (64 /2) = 8 /√2 racionalizando denominador
r = 4 *√ 2 = 5.657 pulg
Calculemos h = 2 *√ (64 - r^2) = 2 *√ (64 - 32) = 2 *√ 32 = 8 *√2 = 11.313 pulg
Verificamos si
64 = r^2 + h^2 /4 = (4 *√ 2 )^2 + (8 *√ 2)^2 /4
64 = 32 + 32
Cumple
Luego el radio del cilindro es 4 *√ 2 = 5.657 pulg y su altura 8 *√2 = 11.313 pulg