Question

El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos (4 ;5) y (3 ;y) con la que pasa por (-2 ;4) y (9 ;1) es de 13.5°. Hallar el valor de "y"

Answer 1

El valor de y es aproximadamente 5.032

Para poder resolver este ejercicio, debemos tener en cuenta la siguiente ecuación para el ángulo entre dos rectas

$tan(\theta) = \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}$

Donde θ es el ángulo entre las rectas, y m1 y m2 son las pendientes de cada una de las rectas, para poder hallar el valor de y, debemos primero despejar m1 de la ecuación, lo que da

$tan(13.5) = \frac{m_1 - m_2}{1+m_1m_2} \implies m_1 - m_2 = tan(13.5)(1+m_1m_2)\\\\m_1 = m_2 + tan(13.5) + m_1( tan(13.5)m_2 ) \implies m_1 -  m_1( tan(13.5)m_2 ) = m_2 + tan(13.5)\\\\\\m_1 = \frac{m_2 + tan(13.5)}{1-m_2 tan(13.5)}$

Para hallar m2, simplemente debemos resolver lo siguiente

$m_2 = \frac{1-4}{9 - (-2)} = -\frac{3}{9+2} = -\frac{3}{11}$

y  tan(13.5) = 0.2400785

Por lo que m1 sería

$m_1 = \frac{m_2 + tan(13.5)}{1+m_2tan(13.5)} = \frac{ -\frac{3}{11} + 0.2400785 }{1 - \frac{3}{1}*0.2400785 } = -\frac{ 0.0326485 }{ 0.993487 } = -0.032862533$

Además, la por definición de la pendiente, tenemos

$m_1 = -0.032862533 = \frac{y - 5}{3-4} = -(y-5) \implies -(y-5) = - 0.032862533 \\\\y- 5 = 0.032862533\\\\y = 5+ 0.032862533 = 5.032862533$

Por lo que el valor de y es aproximadamente 5.032