Usted ve un par de zapatos atados entre sí y colgados en una línea tlf. Usted la una piedra de 0.250 kg a uno de los zapatos ( m=0.370) y choca elásticamente con el zapato con una velocidad de 2.30 m/s en dirección horizontal ¿ a que altura sube el zapato?
Respuestas
La altura que alcanza un zapato al ser golpeado por una piedra es de 0,18 metros
Aplicando las leyes de conservación de la energía este ejercicio puede ser resulto.
Datos
Mp (masa de la piedra)=0,250 Kg
Mz (masa del zapato)=0,370 Kg
Vip (velocidad inicial de la piedra)=2,30 m/s
Viz (velocidad inicial del zapato)= 0m/s
h=?
Partiendo de la conservación del momento en dirección horizontal Px:
∑(Px)antes=∑(Px)después
MpVip+MzViz=MpVfp+MzVfz
MpVip=MpVfp+MzVfz
Donde Vfp (velocidad final de la piedra) y Vfz (velocidad final del zapato)
Después de la colisión actúan solo fuerza conservativas y los zapatos se eleva hasta una altura h, conservándose en el proceso la energía mecánica,
(K+U)inicial=(K+U)final
1/2(Mp(Vip)^2)+0+0=0+1/2(Mp(Vfp)^2)+Mzgh
Mzgh=1/2Mp(Vip^2-Vfp^2)
h=\frac{Mp(Vip^2-Vfp^2)}{2*Mz*g}
De los datos requeridos para determinar h solo falta Vfp para ello se usa la siguiente ecuación:
Vfp=\frac{Mp-Mz}{Mp+Mz}*Vip +\frac{2Mz}{Mp+Mz}*Vfz
Dado que, cuando el zapato alcanza su altura máxima su velocidad final es cero por lo tanto:
Vfp=\frac{Mp-Mz}{Mp+Mz}*Vip
Vfp=\frac{0,250Kg-0,370Kg}{0,250Kg+0,370}*2,30m/s=-0,45 m/s
La velocidad es negativa lo que significa que luego de la colisión la piedra se regresa.
h=\frac{0,250Kg((2,30m/s)^2-(-0,44m/s)^2)}{2*0,370Kg*9,8m/s^2} =0,18m
La altura h alcanzada por el zapato es 0,18m
Tengo una duda. ¿La piedra golpea a los dos zapatos como si fueran uno o golpea a uno solo?
Para los dos casos se conserva el momento lineal del sistema.
Siendo un choque elástico se conserva la energía cinética.
Para el golpe contra un zapato.
Se conserva el momento lineal. Sean U y V las velocidades finales de la piedra y del zapato, respectivamente.
0,250 kg . 2,30 m/s + 0,370 kg . 0 = 0,250 kg . U + 0,370 kg . V
De la conservación de la energía cinética se deduce que la velocidad relativa antes del choque es igual y opuesta que después.
2,30 m/s - 0 = - (U - V)
Reunimos las ecuaciones. Omito las unidades.
0,575 = 0,250 U + 0,370 V
2,30 = - U + V
Tenemos un sistema lineal 2 x 2:
V = U + 2,30; reemplazamos.
0,575 = 0,250 U + 0,370 (U + 2,30)
0,575 = 0,62 U + 0,851
U = (0,575 - 0,851) / 0,62 = - 0,445 m/s
La piedra invierte su velocidad.
V = - 0,445 + 2,30 = 1,855 m/s
1,855 es la velocidad del zapato inmediatamente después del choque.
Sabemos que h = V² / (2 g) es la altura que llegará el zapato
h = 1,855² / (2 . 9,80) ≅ 0,176 m = 17,6 cm
Si los zapatos siguen unidos: m = 0,740 kg
0,250 kg . 2,30 m/s + 0,740 kg . 0 = 0,250 kg . U + 0,740 kg . V
2,30 m/s - 0 = - (U - V)
0,575 = 0,250 U + 0,740 V
2,30 = - U + V
V = U + 2,30; reemplazamos.
0,575 = 0,250 U + 0,740 (U + 2,30)
0,575 = 0,990 U + 1,702
U = (0,575 - 1,702) / 0,990 = - 1,138 m/s
V = 2,30 - 1,138 = 1,162 m/s
h = 1,162² / (2 . 9,80) = 0,069 m = 6,9 cm
Saludos.