1. 2 sec θ + 3 = sec θ + 5
2. 3 csc θ + 5 = csc θ + 9
3. sen 2θ + sen θ = 0
4. 4 sen θ + 5 = 7
5. 2 sen²θ – 3 = cosθ – 2
6. sen²θ = 1/4
7. cos²θ = ¾
8. tan²θ = 3
quien me ayuda con esos ejercicios por fa?
Respuestas
Las respectivas soluciones a los expresiones trigonométricas son:
1) Θ = π/3 + 2πn ; Θ = 5π/3 + 2πn
2) Θ = π/6 + 2πn ; Θ = 5π/6 + 2πn
3) Θ = 2πn ; Θ = π + 2πn
4) Θ = π/6 + 2πn ; Θ = 5π/6 + 2πn
5) Θ = π + 2πn ; Θ = π/3 + 2πn ; Θ = 5π/3 + 2πn
6) Θ = π/6 + 2πn ; Θ = 5π/6 + 2πn ; Θ = 7π/6 + 2πn ; Θ = 11π/6 + 2πn
7) Θ = π/6 + 2πn ; Θ = 11π/6 + 2πn ; Θ = 5π/6 + 2πn ; Θ = 7π/6 + 2πn
8) Θ = π/3 + 2πn ; Θ = 2π/3 + 2πn
1) 2sec(Θ) + 3 = sec(Θ) + 5
Aplicamos cambio de variable, sec(Θ) = u;
2u + 3 = u + 5
Agrupamos términos semejantes;
2u - u = 5 - 3
u = 2
Devolvemos en cambio de variable;
sec(Θ) = 2
Por medio de una tabla trigonométrica del periodo;
Θ = π/3 + 2πn ; Θ = 5π/3 + 2πn
2) 3csc(Θ) + 5 = csc(Θ) + 9
Aplicamos cambio de variable, csc(Θ) = u;
3u + 5 = u + 9
Agrupamos términos semejantes;
3u - u = 9 - 5
2u = 4
u = 4/2
u = 2
Devolvemos en cambio de variable;
csc(Θ) = 2
Por medio de una tabla trigonométrica del periodo;
Θ = π/6 + 2πn ; Θ = 5π/6 + 2πn
3) sen(2Θ) + sen(Θ) = 0
Usamos la identidad: sen(2x) = 2cos(x)sen(x)
sen(Θ) + 2cos(Θ)sen(Θ) = 0
Factorizar;
sen(Θ)(1 + 2cos(Θ)) = 0
Se resuelve cada parte por separado:
sen(Θ) = 0
Por medio de una tabla trigonométrica del periodo;
Θ = 2πn ; Θ = π + 2πn
4) 4sen(Θ) + 5 = 7
Agrupamos términos semejantes;
4sen(Θ) = 7-5
sen(Θ) = 2/4
sen(Θ) = 1/2
Por medio de una tabla trigonométrica del periodo;
Θ = π/6 + 2πn ; Θ = 5π/6 + 2πn
5) 2sen²(Θ) - 3 = cos(Θ) - 2
Igualamos a 0 y agrupamos términos semejantes;
2sen²(Θ) - cos(Θ) -1 = 0
Usamos la identidad: sen²(x) = 1 - cos²(x)
2(1 - cos²(Θ)) - 1 - cos(Θ) = 0
2 - 2cos²(Θ) - 1 - cos(Θ) = 0
Agrupamos términos semejantes;
-2cos²(Θ) - cos(Θ) + 1 = 0
Aplicamos cambio de variable: cos(Θ) = u ;
1 - u -2u² = 0
Aplicando la resolvente:
u = -1 ; u = 1/2
Sustituimos;
cos(Θ) = -1
cos(Θ) = 1/2
Por medio de una tabla trigonométrica del periodo;
cos(Θ) = -1
Θ = π + 2πn
cos(Θ) = 1/2
Θ = π/3 + 2πn ; Θ = 5π/3 + 2πn
Combinando las soluciones:
Θ = π + 2πn ; Θ = π/3 + 2πn ; Θ = 5π/3 + 2πn
6) sen²(Θ) = 1/4
Aplicamos cambio de variable: sen(Θ) = u²;
u² = 1/4
u = 1/2 ; u = -1/2
Devolvemos en cambio;
sen(Θ) = 1/2 ; sen(Θ) = -1/2
Por medio de una tabla trigonométrica del periodo;
sen(Θ) = 1/2
Θ = π/6 + 2πn ; Θ = 5π/6 + 2πn
sen(Θ) = -1/2
Θ = 7π/6 + 2πn ; Θ = 11π/6 + 2πn
Combinando las soluciones:
Θ = π/6 + 2πn ; Θ = 5π/6 + 2πn ; Θ = 7π/6 + 2πn ; Θ = 11π/6 + 2πn
7) cos²(Θ) = 3/4
Aplicamos cambio de variable: cos(Θ) = u²;
u² = 3/4
u = √3/2 ; u = -√3/2
Devolvemos en cambio;
cos(Θ) = √3/2 ; cos(Θ) = -√3/2
Por medio de una tabla trigonométrica del periodo;
cos(Θ) = √3/2
Θ = π/6 + 2πn ; Θ = 11π/6 + 2πn
cos(Θ) = -1/2
Θ = 5π/6 + 2πn ; Θ = 7π/6 + 2πn
Combinando las soluciones:
Θ = π/6 + 2πn ; Θ = 11π/6 + 2πn ; Θ = 5π/6 + 2πn ; Θ = 7π/6 + 2πn
8) tan²(Θ) = 3
Aplicamos cambio de variable: tan(Θ) = u²;
u² = 3
u = √3 ; u = -√3
Devolvemos en cambio;
tan(Θ) = √3 ; tan(Θ) = -√3
Por medio de una tabla trigonométrica del periodo;
tan(Θ) = √3
Θ = π/3 + 2πn
tan(Θ) = -√3
Θ = 2π/3 + 2πn
Combinando las soluciones:
Θ = π/3 + 2πn ; Θ = 2π/3 + 2πn