Question

Hola, agradecería si me ayudaran con este ejercicio de Dinámica de la partícula, principalmente explicando el procedimiento.

Answer 1

SOLUCIÓN

♛ HØlα!! ✌

► Primero relacionaremos las aceleraciones de los bloques, para esto lo que haremos será establecer un sistema de referencia(a nivel de las poleas), ubicamos las posiciones de los bloques y no consideramos la cuerda en azul ni las que están por encima del sistema ya que serán constantes(Figura 1), entonces

                             $L = x_M + x_M+x_m+x_m+x_m\\\\L = 2x_M +3x_m\\\\\mathrm{Derivamos \:respecto\:a\:x}\\\\0 = 2v_M+3x_m\\\\\mathrm{Derivamos \:otra\:vez\:respecto\:a\:x}\\\\0=2a_M+3a_m\\\\2a_M=-3a_m$

➫ El signo negativo nos indica que cuando un bloque sube el otro baja, pero hablando de módulos solo sería

                                        $\boxed{\boldsymbol{2a_M=3a_m}}$

► Ya conociendo esto realizaremos el Diagrama de Cuerpo Libre(DCL) para cada bloque(Figura 2)

► Ahora analizaremos las poleas, en la Figura 1 están enumeradas y en la Figura 3 están separadas por parte, tenemos que

                              $T_2=T_1+2T_1+T_1\\\\\boxed{\boldsymbol{T_2=4T_1}}$

a) La pregunta no pide hallar m en relación de M, tal que estén en equilibrio(a = 0)

✱ Para "m"

    Por Segunda Ley de Newton tenemos

                                       $\sum_y =ma\\\\T_{1}-W_{m} = m(0)\\\\T_{1}-W_{m} = 0\\\\T_{1}=W_{m} \\\\\boxed{\boldsymbol{T_{1}=mg}}$

✱ Para "M"

     Por Segunda Ley de Newton tenemos

                                        $\sum_y =ma\\\\T_{2}-W_{M}=M(0)\\\\T_{2}-W_{M}=0\\\\T_{2}= W_{M}\\\\T_{2}=Mg\\\\\mathrm{Reemplazamos \:T_{2}=4T_{1}}\\\\4T_{1}=Mg\\\\\mathrm{Reemplazamos \:T_{1}}\\\\4mg = Mg\\\\4m =M \\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{m = \dfrac{M}{4}}}}$

b) Hallaremos las aceleraciones de cada bloque

Asumiremos que el bloque de masa "m" está subiendo, entonces el de masa "M" estará bajando

✱ Para "m"

   Por Segunda Ley de Newton tenemos

                                       $\sum_y =ma_m\\\\T_{1}-W_m=ma_m\\\\T_1=W_m+ma_m\\\\\boxed{T_{1}=mg+ma_m}$

✱ Para "M"

   Por Segunda Ley de Newton tenemos

                                        $\sum_y =Ma_M\\\\W_M-T_{2}=Ma_M\\\\T_2=W_M-Ma_M\\\\\boxed{T_2=Mg-Ma_M}$

Tenemos la relación entre tensiones, entonces

                               $T_{2}=4T_{1}\\\\\mathrm{Reemplazamos}\\\\Mg-Ma_M=4(mg+ma_m)\\\\Ma_M=Mg-4(mg+ma_m)\\\\\boldsymbol{\boxed{a_M=\dfrac{Mg-4(mg+ma_m)}{M}}}$

Tenemos la relación de aceleraciones

                                      $2a_M=3a_m\\\\\mathrm{Reemplazamos}\\\\2\left(\dfrac{Mg-4(mg+ma_m)}{M}\right) = 3a_m\\\\\mathrm{Despejamos \: a_m}\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{a_m=\dfrac{2Mg-8mg}{3M+2m}}}}}$

Reemplazamos a_m

                                      $2a_M=3a_m\\\\a_M=\dfrac{3}{2}a_m\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{a_M = \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{2Mg-8mg}{3M+2m}\right)}}}}$