Question

PROCEDIMIENTO, POR FAVOR

Answer 1

Respuesta:

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Explicación paso a paso:

Imagine un punto R, ubicado en la mitad del segmento PA (donde se marca el ángulo recto en la línea punteada). Si logramos obtener el área del triángulo PQR y a esta área le restamos la del triángulo BPR habremos resuelto nuestro problema.

Lo primero es verificar que el punto R es el punto medio del segmento PA. Para ello debemos recordar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180° Además, siendo equilátero el triángulo ABP, sus ángulos son iguales y de 60°.

En ese orden de ideas, si el ángulo ABR es igual al ángulo PBR, entonces el punto R parte el segmento PA en dos partes iguales.

Para determinarlo, veamos el dibujo y veremos que el ángulo qbr es de 180° y además es la suma de los ángulos cbq, cba y abr. Sabemos además que el ángulo cba es recto (90°) y que el ángulo cbq hace parte de un triángulo equilátero (60°). Entonces:

$qbr = cbq + cba + abr \\ 180 = 60 + 90 + abr \\ abr = 30$

Como el ángulo abp hace parte de un triángulo equilátero (60°), ahora hallemos el valor del ángulo pbr:

$abp = abr + pbr \\ 60 = 30 + pbr \\ pbr = 30$

Como pbr es igual a abr, entonces R es el punto medio del segmento PA. Como los lados del cuadrado son iguales a 1 y los triángulos equiláteros comparten lados con el cuadrado, entonces los lados de los triángulos también son iguales a 1 y el segmento PA es uno de estos lados, por lo que el segmento PR tiene una longitud de 0,5.

Ahora debemos hallar el área del triángulo PBR, y el primer paso es determinar la longitud del segmento BR. Conocemos la longitud de PB, PR y sabemos que PBR es un triángulo recto, por lo que el teorema de Pitágoras nos dará la longitud de BR:

${pb}^{2} = {pr}^{2} + {br}^{2} \\ {1}^{2} = { \frac{1}{2} }^{2} + {br}^{2} \\ br = \frac{ \sqrt{5} }{2}$

Entonces el área de PBR es:

$\frac{pr \times br}{2} \\ \frac{ \frac{1}{2} \times \frac{ \sqrt{5} }{2} }{2} = \frac{ \sqrt{5} }{8}$

Ahora hallemos el área de PQR. Lo primero es determinar la longitud del segmento QR, que es la suma de BQ y BR:

$qr = bq + br = \frac{ \sqrt{5} }{2} + 1$

El área de PQR es:

$\frac{qr \times pr}{2} \\ \frac{ \frac{1}{2} \times ( \frac{ \sqrt{5} }{2} + 1)}{2} = \frac{1}{4} + \frac{ \sqrt{5} }{8}$

Y por último, del área de PQR restamos el área de PBR:

$\frac{1}{4} + \frac{ \sqrt{5} }{8} - \frac{ \sqrt{5} }{8} = \frac{1}{4}$

¡Resuelto!