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Explicación paso a paso:
Hola amigo lo primero que debemos hacer es acomodar el 4, convertirlo a una base 2 con exponente 2
4 = 2^2
ahora
2^2(x+1) + 2^(x+3) -320 = 0
hacemos la distributiva
2^(2x+2) + 2^(x+3) -320 = 0
partimos los exponentes en una multiplicación de bases, como dos potencias de igual base se suman los exponentes, lo partimos así
2^2 * 2^2x + 2^3 * 2^x - 320 = 0
como dos elevado dos del primer término, es 4, dividimos toda la ecuación entre 4, para que el primer termino nos quede despejado
2^2x + 2 * 2^x - 80 = 0
Ahora hacemos esto, llamemos a 2^x una A así 2^x = A , entonces el primero termino sería A cuadrada, el segundo 2A y el tercero un 80
A^2 + 2A - 80 = 0
Aplicamos ecuación de segundo grado
(- 2 +- Raíz(4 - 4*1*-80))/2
(-2 +- Raíz( 4 + 320) ) /2
(-2 +- Raíz(324)) / 2
(-2 +- 18) / 2 Nos da dos valores que son -10 y 8
Ahora mucho cuidado acá, esos dos valores son los valores de A
por lo que tenemos que sustituir los valores en nuestra ecuación de A
2^x = A |||||| 2^x= -10 |||||| 2^x=8
aplicamos propiedad de logaritmo a ambos lados
log (2^x) = log -10 |||||| log (2^x) = log 8
no tomamos el de -10 porque logaritmo de numeros negativos no existen
entonces nos queda solo un candidato, aplicamos propiedad de log de una potencia
x log 2 = log 8
x = log 8 / log 2 = 3
x = 3
Espero te sirva amigo, un poco largo el ejercicio pero es que tiene muchos trucos, saludos desde chile!