Question

Un tronco de prisma triangular recto tiene por aristas básicas a segmentos cuyas longitudes son; 8, 12, 6. Las aristas laterales opuestas a estos lados miden; 15, 5, 10 respectivamente. Hallar el volumen y el área lateral del tronco de prisma

Answer 1

En el tronco de prisma triangular recto cuyas aristas de la base son segmentos de longitud 8, 12, 6, y cuyas aristas laterales opuestas a estos lados miden 15, 5, 10, tenemos que el volumen total es de 213,307 y el área lateral del tronco de prisma es de 270.

Observar las figuras adjuntas, la primera muestra el tronco de prisma y la segunda la base triangular.

Comencemos con el volumen. La formula del volumen del tronco de prisma es

1. $V = S_b* \frac{ a + b + c}{ 3}$

donde Sb es el área de la base, a, b y c son las longitudes de las aristas laterales.

Conocemos cuanto miden las aristas, restaría conocer cuanto es el área de la base. La base es el triángulo escaleno de lados 8, 12, 6; el área de un triángulo es siempre

$S_b = \frac{b * h}{2}$

donde b es la base y h la altura.

Sea b el lado de longitud 12, observando la figura 2, queremos encontrar h, la altura. Para ello dividimos el triángulo, con una perpendicular a la base que pasa por el vértice C, en dos triángulos rectángulos,

• uno triángulo con lados 8, h, 12-x,
• otro triángulo con lados 6, h, x.

Por El teorema de Pitágoras, siempre útil, tenemos 2 ecuaciones

$(12-x)^2 + h^2 = 8^2$

$x^2 + h^2 = 6^2$

con incógnitas x y h, esto se puede resolver de varias formas, nosotros despejaremos h^2, en ambas

$h^2 = 8^2 - (12-x)^2$

$h^2 = 6^2 - x^2$

luego igualamos ambas ecuaciones,

$8^2 - (12-x)^2 = 6^2 - x^2$

hacemos un poco de álgebra,

$8^2 - (12^2 - 24x + x^2) = 6^2 - x^2$

$8^2 - 12^2 + 24x - x^2 = 6^2 - x^2$

sumamos x^2 a ambos lados de la igualdad, y despejamos x

$8^2 - 12^2 + 24x = 6^2$

$x = (6^2 + 12^2 - 8^2)/24$

$x = \frac{116}{24} = \frac{29}{6}$

Ahora con este valor de x, volvemos a las primeras ecuaciones, y reemplazamos para encontrar el valor de h,

$h^2 = 6^2 - x^2$

$h^2 = 6^2 - (\frac{29}{6})^2$

$h = \frac{\sqrt{455}}{6}$

Con este valor de h y como tomamos base = 12, tenemos que el área de la base es de

$S_b = (12 * \frac{\sqrt{455}}{6}) / 2$

$S_b = \sqrt{455} = 21.3307$

Ahora con Sb y como las aristas laterales miden 15,5,10, tenemos por (1) que el volumen es,

$V = S_b* \frac{ a + b + c}{ 3}$

$V = \sqrt{455}* \frac{(15 + 5 + 10)}{3}$

$V = 10 \sqrt{455} = 213,307$.

Por otro lado para encontrar el área lateral del tronco de prisma, necesitamos saber el área de cada lado, es decir el área de los trapecios rectangulares de cada lado.

Sabemos que el área de un trapecio rectangular es

$A = c * \frac{a+b}{2}$

donde:

• c, el lado con ambos ángulos rectángulos en el (en nuestro caso las aristas ubicadas en la base),
• a y b los lados paralelos (en nuestro caso, las aristas laterales).

Luego tenemos las áreas de cada lado del tronco de prisma

$A_1 = 8 * \frac{10+5}{2} = 60$

$A_2 = 12 * \frac{10+15}{2} = 150$

$A_3 = 6 * \frac{15+5}{2} = 60$

Sumando las tres áreas tenemos que el área total lateral del tronco de prisma es

$A_1 +A_2+A_3= 60+150+60 =270$.