Question

f(x)=2/√3x^2+5x-2 el dominio porfavor es urgente!!

Answer 1

El dominio presenta dos restricciones: La raíz solo admite valores mayores o iguales que 0, y además no puede producirse la división entre 0.

Condiciones:

1) $3x^{2}+5x-2\geq 0$

2) $\sqrt{3x^{2}+5x-2} \neq 0\\3x^{2}+5x-2 \neq 0$

Puedo interceptar las condiciones para lograr una condición única, ya que necesito que el denominador no sea 0 por la condición 2, y la condición 1 está admitiendo valores mayores o iguales que 0. Para evitar que el denominador pueda ser 0, sin irrespetar las condiciones de la raíz, planteo la siguiente condición:

$3x^{2}+5x-2>0$

Para resolver la  inecuación, debo determinar las raíces (los valores de x que hacen que esa ecuación dé 0). Para determinarlas, aplico la fórmula resolvente a la ecuación de segundo grado que se tiene.

$x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$

Donde a es el coeficiente (número) que acompaña a la variable elevada al cuadrado, b es el coeficiente que acompaña a la variable sin elevar al cuadrado, y c es el coeficiente sin variable. Por lo tanto:

a=3

b=5

c=-2

Sustituimos:

$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4*3*(-2) } }{2*3}$

$x=\frac{-5±\sqrt{25+24} }{6}$

$x=\frac{-5±\sqrt{49} }{6}$

La raíz cuadrada de 49 es 7

$x=\frac{-5±7}{6}$

Una ecuación de segundo grado genera dos valores de x, uno cuando se toma el signo positivo del ± y otro cuando se toma el signo negativo:

Caso 1: Con el signo positivo.

$x_{1}=\frac{-5+7}{6}$

$x_{1}=\frac{2}{6}$

$x_{1}=\frac{1}{3}$

Caso 2: Con el signo negativo:

$x_{2}=\frac{-5-7}{6}$

$x_{2}=\frac{-12}{6}$

$x_{2}=-2$

Ahora que tenemos las raíces de la inecuación, haremos una evaluación de signos (VER IMAGEN ADJUNTA)

Luego de hacer evaluación de signos, tomamos los intervalos de números donde la x es mayor que 0 (positiva. Ver imagen):

x∈(-∞,-2) o x∈(1/3, +∞)

Una forma de representar el "o"  de los intervalos, matemáticamente, es con el símbolo de unión:

x∈(-∞,-2)∪(1/3, +∞)

Finalmente, Domf(x): x∈(-∞,-2)∪(1/3, +∞)