Question

Dada la sucesion definida por recurrencia de la siguiente manera. a1=√2 An=√2*An-1

Decide si es convergente.

Answer 1

La sucesión converge a 2

Para poder resolver este problema, debemos conocer lo que es la serie geométrica

$\sum_{k=0}^{n}{x^k} = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$

Y esta converge a 1/(1-x) si -1 < x < 1

Si consideramos el segundo término, tenemos

$a_2 = \sqrt{2a_1} = \sqrt{2}\sqrt{a_1} = \sqrt{2} \sqrt{ \sqrt{2} } = 2^{1/2} 2^{1/4}  \\\\a_2=2^{1/2+1/4}= 2^{\frac{1}{2}(1+ \frac{1}{2} )}$

El tercer término sería

$a_3 = 2^{1/2} a_2^{1/2} = 2^{1/2}(2^{ \frac{1}{2} (1+\frac{1}{2})})^{1/2} = 2^{ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} } \\ \\a_3=2^{\frac{1}{2} (1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} ) }$

Por lo tanto, se puede generalizar de la siguiente manera el problema

$a_n = 2^{ \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1}{ (1/2)^k } }$

Pero, El exponente resulta ser una serie geométrica, quedando