Una masa de 12,0 kg sujeta al extremo de un alambre de aluminio con longitud sin estirar de 0,500 m gira en círculo vertical, con rapidez angular constante de 120 rev/min. el área transversal del alambre es de 0,014 cm2. calcule el alargamiento del alambrecuando la masa está
Respuestas
El alambre que gira con una masa en su extremo de 12kg tendra un alargamiento en la parta mas baja de Δx = 0.01m
Explicación paso a paso:
Realizamos una sumatoria de fuerzas sobre el bloque en el eje Y:
↑∑Fy : man
Fres - mg = man
Donde:
Fres = kx
an = ω²r ; r=(l + x)
an = ω²(l + x)
kx - mg = mω²(l + x) .:. Despejamos x
kx - mg = mω²l + mω²x
x(k - mω²) = mω²l + mg
x = m(ω²l + g) / (k - mω²) (E1)
convertimos ω de rpm a rad/s
ω = 120rev/min * 2πrad/1rev * 1min/60s = 4πrad/s
l = 0.5m
si el limite de elasticidad del aluminio es E = 7*10¹⁰Pa, y la ecuacion que permite su calculo es:
E = σ/ε
σ = F/a ; ε = Lf-Li/Li
E =Fres/A / (x - l / l) .:: Despejamos k
E = kxl /Ax - Al
EAx - EAl = xkl
k = (EAx - EAl) / xl .:. sustituyo en E1
convertimos Área a metro
A = 0.014cm²*(1m/100cm)²= 1.4*10⁻⁶m²
x = m(ω²l + g) / ((EAx - EAl) / xl - mω²)
x = m(ω²l + g)(xl) / (EAx - EAl - xlmω²)
x(EAx - EAl - xlmω²) = mω²l²x + mglx
(EA - lmω²)x² - (EAl + mω²l² + mgl)x = 0
(98000N - 947.48N)x² - (49000N + 473.74N + 58.86N)x = 0
97052.52Nx² - 49532.6Nx = 0
x = 0.51m
El alargamiento es
Δx = x - l = 0.51m - 0.50m
Δx = 0.01m