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Respuesta:
Explicación paso a paso:
La potenciación es la forma abreviada de escribir varias multiplicaciones consecutivas donde todos los factores son iguales. Si {\displaystyle a} {\displaystyle a} y {\displaystyle n} {\displaystyle n} son números naturales, la potenciación de « {\displaystyle a} {\displaystyle a} a la {\displaystyle n} {\displaystyle n}» se define como la multiplicación de repetida del número {\displaystyle a} {\displaystyle a} un total de {\displaystyle n} {\displaystyle n} veces:
{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times ...\times a} _{\text{«n» factores iguales a «a»}}=b} {\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times ...\times a} _{\text{«n» factores iguales a «a»}}=b}
El resultado de la operación se llama potencia, el factor se llama base y la cantidad de veces que hay que multiplicarlo se llama exponente. La operación se denota colocando el exponente en un superíndice junto a la base de la siguiente forma:
{\displaystyle \underbrace {a} _{\text{Base}}\overbrace {{\text{ }}^{b}} ^{\text{Exponente}}\underbrace {=} _{\text{Igualdad}}\overbrace {c} ^{\text{Potencia}}} {\displaystyle \underbrace {a} _{\text{Base}}\overbrace {{\text{ }}^{b}} ^{\text{Exponente}}\underbrace {=} _{\text{Igualdad}}\overbrace {c} ^{\text{Potencia}}}
Los siguientes ejemplos nos permiten ver la relación entre las multiplicaciones sucesivas y las correspondientes operaciones de potenciación:
{\displaystyle 5\times 5\times 5=5^{3}=125} {\displaystyle 5\times 5\times 5=5^{3}=125}
{\displaystyle 3\times 3\times 3\times 3=3^{4}=81} {\displaystyle 3\times 3\times 3\times 3=3^{4}=81}
{\displaystyle 11\times 11=11^{2}=121} {\displaystyle 11\times 11=11^{2}=121}
Cuadrados y cubos perfectos
Cuando el exponente de la operación es igual a {\displaystyle 2} {\displaystyle 2} se dice que la base se eleva al cuadrado. A los números que son el resultado (potencia) de elevar una base al cuadrado se les llama cuadrados perfectos.
{\displaystyle 196} {\displaystyle 196} es un cuadrado perfecto porque es el resultado de elevar el número 14 al cuadrado:
{\displaystyle 14^{2}=196} {\displaystyle 14^{2}=196}
Si el exponente es igual a {\displaystyle 3} {\displaystyle 3}, se dice que la base se eleva al cubo y a la potencia (resultado) se le llama cubo perfecto.
{\displaystyle 729} {\displaystyle 729} es un cubo perfecto porque es el resultado de elevar el número 9 al cubo:
{\displaystyle 9^{3}=729} {\displaystyle 9^{3}=729}
Exponentes especiales: 0 y 1
La potenciación en el conjunto de los números naturales tiene varios casos especiales:
Cuando el exponente es igual a 1, el resultado de la operación siempre es igual a la base.
Si {\displaystyle a\in \mathbb {N} } {\displaystyle a\in \mathbb {N} }, entonces {\displaystyle a^{1}=a} {\displaystyle a^{1}=a}
Por ejemplo:
{\displaystyle 0^{1}=0} {\displaystyle 0^{1}=0}
{\displaystyle 1^{1}=1} {\displaystyle 1^{1}=1}
{\displaystyle 2^{1}=2} {\displaystyle 2^{1}=2}
{\displaystyle 3^{1}=3} {\displaystyle 3^{1}=3}
{\displaystyle 10^{1}=10} {\displaystyle 10^{1}=10}
{\displaystyle 47^{1}=47} {\displaystyle 47^{1}=47}
Cuando el exponente es igual a 0 y la base es diferente de 0, el resultado de la operación siempre es igual a 1.
Si {\displaystyle a\in \mathbb {N} } {\displaystyle a\in \mathbb {N} } y {\displaystyle a\neq 0} {\displaystyle a\neq 0}, entonces {\displaystyle a^{0}=1} {\displaystyle a^{0}=1}
Por ejempo:
{\displaystyle 1^{0}=1} {\displaystyle 1^{0}=1}
{\displaystyle 2^{0}=1} {\displaystyle 2^{0}=1}
{\displaystyle 3^{0}=1} {\displaystyle 3^{0}=1}
{\displaystyle 10^{0}=1} {\displaystyle 10^{0}=1}
{\displaystyle 47^{0}=1} {\displaystyle 47^{0}=1}
La operación {\displaystyle 0^{0}} {\displaystyle 0^{0}} no está definida en {\displaystyle \mathbb {N} } {\displaystyle \mathbb {N} }. Es decir, su resultado no corresponde a ningún número natural.
Leyes de potencias
Las leyes de potencias, o leyes de exponentes, son reglas que usan las propiedades de las diferentes operaciones matemáticas para manipular las operaciones en la que hay potencias involucradas. Su propósito es ayudarnos a resolver las operaciones donde participan potencias.
A continuación puedes ver las diferentes leyes de potencias, su fórmula general y un ejemplo ilustrativo.
Nombre Regla Ejemplo
Potencia de una multiplicación {\displaystyle (a\times b)^{m}=a^{m}\times b^{m}} {\displaystyle (a\times b)^{m}=a^{m}\times b^{m}} {\displaystyle (5\times 8)^{4}=5^{4}\times 8^{4}} {\displaystyle (5\times 8)^{4}=5^{4}\times 8^{4}}
Potencia de una división {\displaystyle (a\div b)^{m}=a^{m}\div b^{m}} {\displaystyle (a\div b)^{m}=a^{m}\div b^{m}}