Un anillo circular de carga, con radio b, tiene una carga total q distribuida uni-
formemente a su alrededor. Determine la magnitud del campo eléctrico en el centro
del anillo. a) 0 b) keq/b2
c) keq2/b2
d) keq 2/b e) ninguna de las anteriores respuestas es
correcta.
Respuestas
La magnitud del campo eléctrico de un anillo en el centro es igual a cero
Para determinar la magnitud del campo eléctrico en el centro del anillo partiremos de una situación general.
imaginamos el anillo dividido en segmentos infinitesimales de longitud ds. Cada segmento tiene una carga dQ que actúa como fuente de carga puntual del campo eléctrico. Sea el campo eléctrico (dE) a partir de uno de tales segmentos; entonces, el campo eléctrico neto en P es la suma de todas las aportaciones desde todos los segmentos que constituyen el anillo.
Considerando que el punto P del campo se ubica sobre el eje de simetría del anillo. Se toma dos segmentos en las partes superior e inferior del anillo: las contribuciones dE al campo en P a partir de dichos segmentos tienen la misma componente 'x', pero componentes 'y' opuestas. Así, la componente 'y' total del campo generada por este par de segmentos es igual a cero.
Cuando sumamos las contribuciones desde todos los pares correspondientes de segmentos, resulta que el campo total E sólo tendrá una componente a lo largo del eje de simetría del anillo (el eje x), sin componente perpendicular a dicho eje (es decir, no hay componentes 'y' ni componente 'z'). (Ver imagen anexa
Por lo tanto, el campo en P queda descrito completamente por su componente x: Ex.
La formula general del campo eléctrico E (vector):
E=\frac{1}{4\piε } \frac{q}{r^{2} }
Entonces la distancia r desde el punto infinitesimal hasta P es:
r=\sqrt{x^2+b^2}
De manera que la magnitud de la contribución de este segmento dE al campo eléctrico en P es:
dE=\frac{1}{4\pi ε} \frac{dQ}{x^2+b^2}
Con respecto al angulo α, cos( α)= x/r=x/(x^2+b^2)^{1/2}, componente x, dEx de este campo es:
dEx=dEcos(α)=\frac{1}{4\piε } \frac{dQ}{x^2+b^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+b^2} } =\frac{1}{4\pi ε} \frac{xdQ}{(x^2+b^2)^{3/2} }
Par encontrar la componente x total, Ex, del campo en P se integra la expresión anterior a lo largo del segmento del anillo:
\int\limits {\frac{1}{4\pi ε} \frac{x}{(x^2+b^2)^{3/2} }} \, dQ
Como x no varía a medida que nos movemos de un punto a otro alrededor del anillo, todos los factores en el lado derecho son constantes, excepto dQ por lo tanto la integral anterior tiene el siguiente resultado:
E=Exi=\frac{1}{4\pi ε} \frac{xQ}{(x^2+b^2)^{3/2} } i
Donde i es el vector unitario en x
Como se logra observar la situación planteada en tu ejercicio es hallar la magnitud del campo eléctrico en el centro, es decir cuando x=0. Si sustituimos este valor en el resultado anterior llegamos a la conclusión que el campo eléctrico en ese punto es cero.
lo que era de esperarse: las cargas en los lados opuestos del anillo empujarían en direcciones opuestas a una carga de prueba que se situara en el centro, y la suma de las fuerzas sería cero.
