un rio tiene 20 km de ancho. a un lado del rio se encuentra una fabrica que decea trasportar frutas a una ciudad situada del otro lado del rio y 60 km rio abajo. el costo del trasporte via terrestre es de 30$ por tonelada po km y via maritima 70$por tonelada po km. ¿en que punto de la orilla se deberia caragar la mercaderia en gabarras para que el costo total sea minimo?
Respuestas
Respuesta:
El punto de la orilla debe estar a 50.83 km del pueblo
Explicación paso a paso:
Como aquí intervienen dos variables: el viaje por agua ( x ) y el viaje por tierra ( y ) vemos que
si sólo se viaja por agua serían 63.24 km con un costo de 4 426.80 $
Si se viaja en linea recta por agua ( 20 km ) y en linea recta por tierra
( 60 km ) el costo sería de
( 20 ) ( 70 ) + ( 60 ) ( 30 ) = 1400 + 1800 = 3 200 $
Entonces el viaje debe ser una combinación agua - tierra
menor a 3 200 $
Entonces debe cumplirse con que
70 x + 30 y < 3200
Ahora bien "y" es una resta de 60 - √ x² - 20² , es decir
y = 60 - √ x² - 400
Esto se debe a que el viaje por agua es una diagonal de un triángulo rectángulo y el viaje por tierra es 60 - cateto
Si damos valores a "x" y calculamos los de "y" veremos en que punto el costo es mínimo
x = 21 km
70 x 21 = 1470 $
y = 60 - √ 21² - 400 = 60 - √ 441 - 400 = 60 - √41 = 60 - 6.4 = 53.6 km
53.6 x 30 = 1608 $
sumamos
1470 + 1608 = 3078 $ ( ya es menor a 3200 $ )
Seguimos calculando
x = 22 km
22 x70 = 1540 $
y = 60 - √22² - 400 = 60 - √484 - 400 = 60 - √84 = 60 - 9.17 = 50.83 km
50.83 x 30 = 1524.9 $
sumamos
1540 + 1524.9 = 3064.9 $
Otro cálculo
x = 23 km
23 x 70 = 1610 $
y = 60-√23²-400 = 60-√529-400 = 60-√129 = 60-11.36 = 48.64 km
48.64 x 30 = 1459.2 $
sumamos
1610 + 1459.2 = 3069.20 $ ( ya se hizo mas grande el costo )
Conclusión
Se debe viajar 22 km por agua en diagonal y 50.83 km por tierra
es decir el punto de la orilla donde se debe carga la mercadería debe estar a 50.83 km del pueblo