Question

17. La diferencia del número de lados de dos polígonos
es 3, además su número de diagonales suman 144
¿Cuántos lados tiene el polígono mayor?
a. 20.
18
12
b. 24
15​

Answer 1

Respuesta:

El número de lados del polígono mayor es 15.

Explicación paso a paso:

Como el problema me pregunta por el número de lados del mayor polígono, es buena idea llamar $x$ a dicho número.

Entonces el otro polígono tiene $x-3$ lados.

El número de diagonales de un polígono de $n$ viene dado por la fórmula: $\dfrac{n\cdot(n-3)}{2}$.

Usándo esa fórmula, el polígono de mayor número de lados tiene  $\dfrac{x\cdot(x-3)}{2}$.

El de menor número de lados tiene $\dfrac{(x-3)\cdot(x-3+1)}{2}$. Pero podemos simplificar esta última expresión obteniendo:

$\dfrac{(x-3)\cdot(x-3-3)}{2}=\dfrac{(x-3)\cdot(x-6)}{2}$.

Ahora sólo nos queda sumar las diagonales de los dos polígonos, es decir:

$\dfrac{x\cdot(x-3)}{2}+\dfrac{(x-3)\cdot(x-6)}{2}$

Usando el factor común $(x-3)$ se tiene:

$\dfrac{x\cdot(x-3)}{2}+\dfrac{(x-3)\cdot(x-6)}{2}=\dfrac{(x-3)(x+x-6)}{2}=\dfrac{(x-3)\cdot2(x-3)}{2}=(x-3)(x-3)=(x-3)^2$

Aún no hemos usado un dato, la suma de las diagonales de ambos polígonos es 144. Por cierto $144=12^2$. Para que ese dato se cumpla imponemos la siguiente ecuación:

$(x-3)^2=12^2\Leftrightarrow x-3=12\Leftrightarrow x=15$

Comprobémoslo.

Si el polígono mayor tiene 15 lados, el menor tiene 12. El número de diagonales es

$\dfrac{15\cdot(15-3)}{2}=\dfrac{15\cdot12}{2}=15\cdot6=90$ y

$\dfrac{12\cdot(12-3)}{2}=\dfrac{12\cdot9}{2}=6\cdot9=54$, respectivamente.

Y como podemos ver $90+54=144$.