Question

calcula la suma de los "n" primeros .....

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Numeración

$\textbf{Problema :}$

Calcule la suma de los $n$ primeros términos de la serie $S = 69+6969+696969+ \ldots$

RESOLUCIÓN

Analicemos el caso para los 3 primeros términos.

                                      $S = 69 + 6969 + 696969$

               $S = 69 + 69(101) + 69(10101) = 69\boldsymbol{(} 1+101+10101\boldsymbol{)}$

                        $S = 69 \boldsymbol{(} 1+(1+100)+(1+100+10000) \boldsymbol{)}$

                        $S = 69 \boldsymbol{(} 1+(1+100^{1})+(1+100^{1}+100^{2}) \boldsymbol{)}$

Aplicando las identidades de cocientes notables.

                      $S = 69 \left( \dfrac{100-1 }{100-1} + \dfrac{100^{2}-1 }{100-1} + \dfrac{100^{3}-1 }{100-1} \right)$

Operando

                           $S = \dfrac{69}{99} \boldsymbol{(} 100-1+100^{2}-1+100^{3} -1 \boldsymbol{)}$

                           $S = \dfrac{69}{99} \boldsymbol{(} 1+100+100^{2}+100^{3} -4 \boldsymbol{)}$

Aplicando nuevamente identidades de cocientes notables.

                               $S = \dfrac{69}{99} \left( \dfrac{100^{4}-1}{99} - \dfrac{4 \cdot 99}{99} \right)$

                               $S = \dfrac{69}{99} \left( \dfrac{100^{4}-1 -4 \cdot 99}{99} \right)$

                               $S = \dfrac{69}{99} \left( \dfrac{100^{4} - 3 \cdot 99 - 99 -1}{99} \right)$

                               $S = \dfrac{69}{99} \left( \dfrac{100^{4} - 3 \cdot 99 - 100}{99} \right)$

Ahora realizamos un análisis similar para $n$ términos el cual dejaré adjunto.

RESPUESTA          

$\boxed{\dfrac{69}{99} \left( \dfrac{100^{n+1} - 99n - 100}{99} \right)}$