Question

Encuentre un polinomio P(x) de grado 3 y con 1 como coeficiente principal, que
cumpla con que p(x) es divisible por (x - 2), P(0) = 6, P(1) = -2.​

Answer 1

Respuesta:

p(x) =  x³ + 2x² -11x + 6

Explicación paso a paso:

un polinomio P(x) de grado 3 y con 1 como coeficiente principal

p(x) = x³ + bx² + cx + d

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como  p(x) es divisible por (x - 2) entonces en el resto es cero

por el teorema del resto

x - 2 = 0

x = 2

reemplazamos

p(x) = x³ + bx² + cx + d

p(2)  = (2)³ + b.(2)² + c.(2) + d = 0

p(2)  = 8 + 4b + 2c + d = 0

4b + 2c + d = - 8 ..................(1)

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calculamos

para P(0) = 6

p(x) = x³ + bx² + cx + d

p(0)  = (0)³ + b.(0)² + c.(0) + d = 6

d = 6

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para P(1) = -2

p(x) = x³ + bx² + cx + d

p(1)  = (1)³ + b.(1)² + c.(1) + d = -2

1 + b + c + d = - 2

b + c + d = - 2 - 1

b + c + d = -3 ............(2)

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reemplazamos , d = 6 en (1)

4b + 2c + d = - 8

4b + 2c + 6 = - 8

4b + 2c = -8 - 6

4b + 2c = -14

2b + c = -7 ................(3)

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reemplazamos , d = 6 en (2)

b + c + d = -3

b + c + 6 = -3

b + c = - 3 - 6

b + c = -9 ..................(4)

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resolvemos (3) y (4)

restamos

2b + c = -7    

b + c = -9

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2b + c - (b + c) = -7 - (- 9)

2b + c - b - c = -7 + 9

b = 2

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reemplazamos en (4)

b + c = -9

2 + c = - 9

c = - 9 - 2

c = - 11

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reemplazamos  b ,c y d en el polinomio

p(x) = x³ + bx² + cx + d

p(x) = x³ + 2x² -11x + 6

el polinomio es  x³ + 2x² -11x + 6