Problema de aplicación de vectores.
Tengo las respuestas, pero no sé cómo llegar a ellas.
Un lanchero quiere cruzar un canal que tiene 3 km de ancho y desembarcar a la orilla opuesta a 2 km río arriba del punto de partida. La corriente en el canal fluye a 3.5 km/h y la rapidez de su lancha es de 13 km/h.
a) ¿En qué dirección debe dirigirse?
b) ¿Cuánto tiempo le llevará el traslado?
Las respuestas son:
a) En un ángulo de 43.4° desde el barco
b) 20.2 min
Respuestas
El lanchero debe dirigirse en una dirección α = 20.8° y el traslado le llevara 15 minutos
La clave para resolver este problema es que se puede descomponer el movimiento de la lancha en dos direcciones “X” y “Y”, donde “X” es la dirección perpendicular a las orillas del rio y “Y” es la dirección de las orillas. Sabido esto se conoce también que el tiempo que tarda el lanchero en llegar a la otra orilla es igual en ambas direcciones “X” y “Y”.
Entonces:
- tx = ty , tx = dx/Vx , ty= dy/Vy
Donde:
tx: tiempo que tarda la lancha en recorrer la distancia X entre las orillas, dx = 3 Km
ty: tiempo que tarda la lancha en recorrer la distancia Y entre las orillas, dy = 2 Km
Vx: componente en X de la velocidad de la lancha, Vx = V * cosα
Vy: componente en Y de la velocidad de la lancha, Vy = V * senα
V: modulo de la velocidad constante de la lancha V= 13 Km/h
α: angulo sobre la horizontal que forma la línea de desplazamiento de la lancha
Entonces sustituimos los valores numéricos:
3 / 13 * cosα = 2 / (( 13 * senα) + 3.5 )
De esta ecuación obtenemos:
- 39 * senα – 26 * cosα = - 10.5, Haciendo varias aproximaciones con esta igualdad obtenemos que :
α = 20.8 °
Ahora sustituimos en la ecuación anterior:
t = 3 / (13 * cosα), sustituyendo α=20,8°
t= 0.25 h = 15 min