Question

Determina si las siguientes funciones son biyectivas; en caso afirmativo, determina la inversa. h(x) =5x /3 - 4 b.f(x) = 3x2 - 2

Answer 1

La función h(x) es biyectica en todo el intervalo (-∞, ∞), mientras que la función f(x) es biyectiva en [0, ∞) y rango[-2, ∞). Sus inversas son h^{-1}(x)= 3/5x + 12/5, f^{-1}(x)= √[ (y+2)/3 ]

Para poder determinar si una función f es biyectiva, debemos ver dos cosas

• Si dos valores x e y son distintos, entonces f(x) y f(y) son distintas
• Todos los elementos del rango de la función tiene una pre imagen en el dominio

Entonces simplemente debemos verificar estas dos condiciones en ambas funciones

Primera función

Vamos a verificar la primera condición

$x_1 \neq x_2\\\\(5/3)x_1 \neq (5/3)x_2\\\\(5/3)x_1 - 4 \neq (5/3)x_2 - 4\\\\h(x_1) \neq h(x_2)$

Ya hemos visto que la función cumple la primera condición, además, se puede ver que esta está definida en todo R (tanto en dominio como en rango) por lo que también cumple la segunda condición, es decir, h(x) es biyectiva

Segunda función

Para poder determinar  determinar si esta función es biyectiva procedemos a verificar las condiciones

La primera condición la vamos a verificar de manera reversa, es decir, partiendo de suponer que la función f(x)≠f(y)  deducimos que x ≠ y, comenzamos

$f(x)=3x^2 - 2\\\\f(x) \neq f(y)\\\\3x^2 - 2 \neq 3y^2 - 2\\\\3x^2 \neq 3y^2\\x^2 \neq y^2 \neq 0$

Aquí  debemos hacer una pausa, para que la condición se cumpla, debemos restringir los valores de x e y al intervalo [0, ∞) dado que por ejemplo x = -y, pero x² = y². Es decir, x ≠ y, pero, x² = y². Si obligamos a ambos valores a estar en [0, ∞) esto se puede evitar y la función cumpliría la condición

Además, vemos que el mínimo valor que puede tener la función es f(0)= -2 por lo que todos los valores en el intervalo (-∞, -2) no tienen una imagen, por lo que no cumpliría la segunda condición si su conjunto de llegada tuviese valores menores a -2. Por lo tanto, lo restringimos al intervalo [-2, ∞)

Para hallar las inversas, simplemente se despeja x de la siguiente ecuación

y = 5x/3 - 4 ⇒ y+4 = 5x/3 ⇒ x = (3/5)(y+4)= 3y/5 + 12/5

y = 3x² -2 ⇒ y + 2 = 3x² ⇒(y+2)/3 = x² ⇒ x= √[ (y+2)/3 ]