Question

) Una piedra atada a un piolín se mueve en el plano x-y. Sus coordenadas están dadas en función del tiempo por: x(t)=Rcos(t) e y(t)=R sen(t) donde R y  son constantes. Muestre que la distancia de la piedra al origen es constante e igual a R. Muestre que en todos los puntos la velocidad es perpendicular a la posición. Muestre que la aceleración está siempre en dirección opuesta a su posición y tiene magnitud   r. Muestre que la magnitud de la velocidad es constante e igual a R. Combine los resultados anteriores para demostrar que la aceleración tiene magnitud v2 /R.

Answer 1

Demostrado que la distancia de la piedra al origen es constante e igual a R, que en todos los puntos la velocidad es perpendicular a la posición, que la aceleración está siempre en dirección opuesta a su posición y tiene magnitud ω²R, que la magnitud de la velocidad es constante e igual a ωR y que la aceleración tiene magnitud v²/R.

Explicación paso a paso:

Vamos a construir una función vectorial que determine la posición de la piedra con respecto al origen en el plano xy.  

$\bold{ \overrightarrow{d}=R Cos(\omega t) i+R Sen(\omega t) j}$                 donde  R  y  ω  son constantes.  

1. Muestre que la distancia de la piedra al origen es constante e igual a R. La distancia entre el punto (0, 0) y el punto de coordenadas (x, y) viene dada por la fórmula:  

$D=\sqrt{[ R Cos(\omega t)-0]^{2}+[ R Sen(\omega t)-0]^{2}}\qquad \Rightarrow$  

$D=\sqrt{[ R]^{2} [ Cos(\omega t)]^{2}+[ R]^{2} [ Sen(\omega t)]^{2}}\qquad \Rightarrow$  

$D=\sqrt{[ R]^{2}{ [ Cos(\omega t)]^{2}+ [ Sen(\omega t)]^{2}}}\qquad \Rightarrow$  

$\bold{D=\sqrt{[ R]^{2}}=R}$  

2. Muestre que en todos los puntos la velocidad es perpendicular a la posición.  

Debemos hallar el vector velocidad, el cual se consigue derivando la función posición.  

${\overrightarrow{v}}=\frac{d\overrightarrow{d}}{dt}=\frac{d[R Cos(\omega t) i+R Sen(\omega t) j] }{dt}\qquad\Rihgtarrow$

$\bold{\overrightarrow{v}=-R\omega Sen(\omega t) i+R\omega Cos(\omega t) j}$

Luego demostramos que este vector es perpendicular al vector posición, y esto lo logramos calculando el producto escalar de los vectores y verificando que es nulo.

$\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{v}=[R Cos(\omega t) i+R Sen(\omega t) j]\cdot[-R\omega Sen(\omega t) i+R\omega Cos(\omega t) j]\qquad \Rightarrow$

$\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{v}=[R Cos(\omega t)]\cdot[-R\omega Sen(\omega t)]+[ R Sen(\omega t)]\cdot[R\omega Cos(\omega t)]\qquad \Rightarrow$

$\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{v}=-R^{2} \omega Cos(\omega t) Sen(\omega t)+ R^{2} \omega Sen(\omega t) Cos(\omega t)=0$

El resultado nulo del producto escalar de los vectores posición y velocidad comprueba que ellos son perpendiculares entre si.

3. Muestre que la aceleración está siempre en dirección opuesta a su posición y tiene magnitud ω²R.  

Debemos hallar el vector aceleración, el cual se consigue derivando en segunda oportunidad la función posición o, lo que es lo mismo, derivando la función velocidad.  

${\overrightarrow{a}}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d[-R\omega Sen(\omega t) i+R\omega Cos(\omega t) j] }{dt}\qquad\Rihgtarrow$

$\bold{\overrightarrow{a}=-R\omega^{2} Cos(\omega t) i-R\omega^{2} Sen(\omega t) j}$

Como se puede observar, las componentes del vector aceleración son múltiplos escalares de las componentes del vector posición, pero de signo contrario; es decir, tienen direcciones opuestas.

La magnitud o modulo de un vector se obtiene calculando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

$\|\overrightarrow{a}\|=\sqrt{(-R\omega^{2} Cos(\omega t))^{2}+(-R\omega^{2} Sen(\omega t))^{2}}\qquad \Rightarrow$

$\|\overrightarrow{a}\|=\sqrt{R^{2}\omega^{4}[Cos(\omega t))]^{2}+R^{2}\omega^{4} [Sen(\omega t))]^{2}}\qquad \Rightarrow$

$\|\overrightarrow{a}\|=\sqrt{R^{2}\omega^{4}{[Cos(\omega t))]^{2}+[Sen(\omega t))]^{2}}}\qquad \Rightarrow$

$\bold{\|\overrightarrow{a}\|=\sqrt{R^{2}\omega^{4}}=R \omega^{2}}$

4. Muestre que la magnitud de la velocidad es constante e igual a ωR.  

$\|\overrightarrow{v}\|=\sqrt{(-R\omega Sen(\omega t))^{2}+( R\omega Cos(\omega t))^{2}}\qquad \Rightarrow$  

$\|\overrightarrow{v}\|=\sqrt{R^{2}\omega^{2}[Sen(\omega t))]^{2}+R^{2}\omega^{2} [Cos(\omega t))]^{2}}\qquad \Rightarrow$

$\|\overrightarrow{v}\|=\sqrt{R^{2}\omega^{2}{[Sen(\omega t))]^{2}+[Cos(\omega t))]^{2}}}\qquad \Rightarrow$

$\bold{\|\overrightarrow{v}\|=\sqrt{R^{2}\omega^{2}}=R \omega}$

5. Combine los resultados anteriores para demostrar que la aceleración tiene magnitud v²/R.

$\|\overrightarrow{a}\|=R \omega^{2}$

$\|\overrightarrow{v}\|=R \omega$

Se quiere demostrar que:  

$\|\overrightarrow{a}\|=\frac{[\|\overrightarrow{v}\|]^{2}}{R}\qquad \Rightarrow$

$R \omega^{2}=\frac{[ R \omega]^{2}}{R}=\frac{[ R^{2} \omega^{2}}{R}\qquad \Rightarrow$

$R \omega^{2}=\frac{[ R \omega]^{2}}{R}=\frac{[\backslash\!\!\!R^{2} \omega^{2}}{\backslash\!\!\!R}= R \omega^{2}$

Demostrado que:   $\|\overrightarrow{a}\|=\frac{[\|\overrightarrow{v}\|]^{2}}{R}\qquad \Rightarrow$