Un hombre está parado en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos están a 3 m. por encima del amarre de la lancha. Cuando la lancha está a 4 m. del muelle el hombre está jalando la cuerda a una velocidad de 80 cm/s. ¿A qué velocidad se aproxima la lancha al muelle?

me podrían ayudar por favor, a resolver y como llegar al resultado (paso por paso)

Respuestas

Respuesta dada por: judith0102
21

La velocidad a la que se aproxima la lancha al muelle tiene un valor de :    dx/dt =  -1 m/seg .

  La velocidad a la que se aproxima la lancha al muelle se calcula mediante la aplicación del teorema de pitágoras y razón de cambio de la siguiente manera:

 Se considera el triángulo rectángulo cuyos vértices están en el amarre de la lancha, la base del muelle y  las manos del hombre ( ver adjunto). Este triángulo tiene catetos de longitudes x(t) (distancia entre la lancha y el muelle)  y 3 (altura entre la base del muelle y las manos) e hipotenusa de longitud z(t) (longitud de la cuerda).  

Por el teorema de Pitágoras se cumple que

        z(t)² =  x(t)² + 3²

       z(t)² =  x(t)² + 9

 donde :  x(t) y z(t) dependen del tiempo t.

Derivando implícitamente con respecto a t , se obtiene:

        2*z(t)* dz/dt = 2*x(t)*dx/dt

de donde, para cualquier instante t ≥ 0 , mientras x > 0 se tiene que:

         dx/dt =[ z(t)/x(t) ]* ( dz/dt)

En el instante to en que x(to)=4 m se tiene que:

              z(to)² = 4² + 9 = 25 ⇒ z(to)=5 m  

Y debido a que dz/dt = −0.8 m/s, se obtiene que, en ese instante to

El signo negativo en la razón de cambio de la longitud z(t) de  la cuerda se debe a que dicha longitud está disminuyendo (decreciendo) .

     

      dx/dt = [ z(to)/x(to)]* dz/dt = ( 5/4)* ( -0.8)  = -1

     dx/dt = -1 m/seg

 

Adjuntos:
Preguntas similares