Un hombre está parado en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos están a 3 m. por encima del amarre de la lancha. Cuando la lancha está a 4 m. del muelle el hombre está jalando la cuerda a una velocidad de 80 cm/s. ¿A qué velocidad se aproxima la lancha al muelle?
me podrían ayudar por favor, a resolver y como llegar al resultado (paso por paso)
Respuestas
La velocidad a la que se aproxima la lancha al muelle tiene un valor de : dx/dt = -1 m/seg .
La velocidad a la que se aproxima la lancha al muelle se calcula mediante la aplicación del teorema de pitágoras y razón de cambio de la siguiente manera:
Se considera el triángulo rectángulo cuyos vértices están en el amarre de la lancha, la base del muelle y las manos del hombre ( ver adjunto). Este triángulo tiene catetos de longitudes x(t) (distancia entre la lancha y el muelle) y 3 (altura entre la base del muelle y las manos) e hipotenusa de longitud z(t) (longitud de la cuerda).
Por el teorema de Pitágoras se cumple que
z(t)² = x(t)² + 3²
z(t)² = x(t)² + 9
donde : x(t) y z(t) dependen del tiempo t.
Derivando implícitamente con respecto a t , se obtiene:
2*z(t)* dz/dt = 2*x(t)*dx/dt
de donde, para cualquier instante t ≥ 0 , mientras x > 0 se tiene que:
dx/dt =[ z(t)/x(t) ]* ( dz/dt)
En el instante to en que x(to)=4 m se tiene que:
z(to)² = 4² + 9 = 25 ⇒ z(to)=5 m
Y debido a que dz/dt = −0.8 m/s, se obtiene que, en ese instante to
El signo negativo en la razón de cambio de la longitud z(t) de la cuerda se debe a que dicha longitud está disminuyendo (decreciendo) .
dx/dt = [ z(to)/x(to)]* dz/dt = ( 5/4)* ( -0.8) = -1
dx/dt = -1 m/seg
