Question

¿Cuántas diagonales tiene un polígono regular tal que si tuviera 6 lados menos la medida de su ángulo externo aumentaría en 30°?​

Answer 1

El número de diagonales del polígono regular que cumple con las condiciones dadas es de: 54 Diagonales

Explicación:

Para hallar el ángulo externo de un polígono regular usamos la expresión:

1) β = 360 / N

Donde β es el ángulo externo y N el número de lados del polígono.

Si tuviera 6 lados menos, su ángulo externo aumentaría 30°

esto es:

2) β + 30° = 360° / (N - 6)

Sustituimos 1 en 2)

360 / N + 30 = 360 / (N - 6)

Nos queda una ecuación cuadrática:

30N² - 180N - 2160 = 0

Al aplicar la resolvente: $N_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Nos queda:

N = -6 y N = 12 Descartamos el negativo y nos queda un polígono de 12 lados.

Para hallar el número de diagonales:

D = N(N-3) / 2

D = 12(12 - 3) / 2

D =12*9/2

D = 54 por lo tanto el número de diagonales del polígono es 54