Question

ayuden con este ejercicio de distancia entre un punto y una recta del plano​

Answer 1

SOLUCIÓN

♛ HØlα!! ✌

⚠ Recordemos que

                                    $\mathtt{Para\: hallar\: la \:distancia \: de}\\\mathtt{un \:punto \:A(a,b) \:a \:una \:recta}\\\mathtt{"L" \:utilizaremos \:la \:siguiente \:f\'ormula} \\\\\boxed{\mathtt{d[A.L] = \frac{ |Aa + Bb + C| }{ \sqrt{ {A}^{2} +{B}^{2}}}}}\\\\\\\mathtt{Siendo\: la \: recta \:\overleftrightarrow{L}: Ax + By +C =0}$

En este caso la recta del plano lo expresaremos de la siguiente manera

                                      $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{5} = 1\\\\\\\boldsymbol{\dfrac{5}{5}}\left(\dfrac{x}{2}\right)+\boldsymbol{\dfrac{2}{2}}\left(\dfrac{y}{5}\right) = 1\\\\\\\dfrac{5x}{10} + \dfrac{2y}{10} = 1\\\\\\\dfrac{5x + 2y}{10} = 1 \\\\\boxed{5x + 2y - 10=0}$

Ahora utilizaremos la fórmula

                                     $d[E,L_{5}] = \dfrac{ |Aa + Bb + C| }{ \sqrt{ {A}^{2} +{B}^{2}}}\\\\\\d[E,L_{5}] = \dfrac{ |5(-2) + 2(-4) +(-10) | }{ \sqrt{ {5}^{2} +{2}^{2}}}\\\\\\d[E,L_{5}] = \dfrac{ |-28| }{ \sqrt{29}}\\\\\\d[E,L_{5}] = \dfrac{ 28}{\sqrt{29}}\\\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{d[E,L_{5}] \approx 5.19}}}$

Rpta. La distancia del punto E a la recta E5 es de 5.19 unidades aproximadamente

Answer 2

Hola :D

La forma de la recta que nos dan es simétrica, es decir nos dan las intersecciones con los ejes, para encontrar la distancia del punto a una recta, debemos de pasar a la forma general de la recta, se hará de la siguiente manera:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{5} = 1$

Hacemos la conocida carita feliz (imagen)

nos queda:

$\frac{5x + 2y}{10} = 1$

Pasamos el 10 dividiendo al otro lado a multiplicar:

$5x + 2y = 10 \rightarrow 5x + 2y - 10 = 0$

La fórmula para dicha distancia será:

$d = \frac{ |Ax + By + C| }{ \sqrt{A {}^{2} + {B}^{2} } }$

La ecuación que obtuvimos Ax + By + C es 5x + 2y - 10 , donde A es el coeficiente que acompaña a la variable x y B a la variable y.

como es distancia de un punto a una recta, la x e y, se sustituiran por las coordenadas dadas (- 2, - 4)

En este caso:

x = - 2, y = - 4

Sustituiremos:

$d = \frac{ |5( - 2) + 2( - 4) - 10| }{ \sqrt{ {5}^{2} + {2}^{2} } } \\ d = \frac{ | - 10 - 8 - 10| }{ \sqrt{25 + 4} } \\ d = \frac{ | - 28| }{ \sqrt{29} } \\ \boxed{ d = \frac{28}{ \sqrt{29} } u}$