Respuestas
Teorema del valor medio
No especificas si esto es lo que quiere pero dado la estructura del enunciado se puede inferir.
El teorema del valor medio dice así:
Si tenemos una función f(x) continua en el intervalo cerrado [a,b] (tiene que ser continua en x=a y x=b) y derivable en el intervalo abierto (a,b) (no tiene por qué ser derivable ni en x=a ni en x=b), entonces, existe al menos un punto c, perteneciente al intervalo abierto (a,b), tal que en ese punto se verifica:
f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
Entonces se tiene que cumplir ciertas condiciones para poder aplicar este teorema:
Condiciones
f continua en [a,b]
f derivable en (a,b) → Э c ∈ (a,b) / f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
f(a)≠f(b)
Se tiene la siguiente función
f(x) = x^2 con x ϵ [0,2],
En primer lugar, debemos comprobar si se cumplen las condiciones para que se pueda aplicar el teorema del valor medio. Debemos comprobar si la ecuación es continua en [0,2] y derivable en (0,2)
Continua
La función es continua en todo R, al ser una función polinómica, por lo que también será continua en el intervalo [0,2].
Es derivable:
La función es derivable en (0,2) si su derivada es continua en ese intervalo.
La derivada de la función es:
f'(x)=2x
Que es continua en todo R al ser una función polinómica, por tanto f(x) es derivable.
Es continua en [0,2] y derivable en (0,2), por tanto, existe un valor de c en ese intervalo tal que:
f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
Ahora se procede a determinar el valor c:
f(0)=(0)^2=0
f(2)=(2)^2=4
f'(c)=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=f'(c)=\frac{4}{4}=1
Por otro lado, calculamos f'(c) a partir de f'(x):
f'(x)=2x
Sustituyendo la x por la c:
f'(c)=2c
Igualamos ambos resultados de f'(c) y nos queda una ecuación que depende de c y de donde podemos despejarla y encontrar el valor de c que nos están pidiendo:
2c=1
c=1/2
Y este es el numero c tal que f(c) = f̅[0,2]