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es La construcción de los polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados así como la de los polígonos obtenidos de los anteriores multiplicando el número de lados por una potencia de dos era conocida ya desde Euclides. Sin embargo no se había encontrado aún un método para construir ningún otro polígono regular, como el heptágono, ni siquiera se sabía si tal método existía.
El primer avance significativo lo consiguió 2000 años después en 1796 Gauss quien demostró que el polígono regular de 17 lados o heptadecágono era construible con regla y compás.2 Cinco años más tarde desarrolló la teoría de los periodos gaussianos en su libro Disquisitiones arithmeticae. Esta teoría le permitió formular una condición suficiente para la constructibilidad de los polígonos regulares:
[...] a fin de poder dividir geométricamente el círculo en N partes, N debe ser 2 o una potencia más alta de 2, o un número primo de la forma 2m + 1, o el producto de varios números primos de esta forma, o el producto de uno o varios de tales números primos por 2 o por una potencia más alta de 2. En resumen, se requiere que N no incluya factores primos impares que no sean de la forma 2m + 1 ni algún factor primo de la forma 2m + 1 más que una vez.
Gauss3
Gauss conjeturó que esta condición era también necesaria, pero no dio ninguna prueba de esta afirmación. Una demostración completa fue dada por Wantzel (1837).4
A los números primos de la forma 2m + 1 se les conoce como números primos de Fermat.5 Los únicos primos de Fermat conocidos son:
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, y F4 = 65537 (sucesión A019434 en OEIS)
Por lo tanto los polígonos regulares construibles con regla y compás son aquellos que tienen un número de lados igual a:
3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, … (sucesión A003401 en OEIS),
mientras que los polígonos regulares no construibles con regla y compás son aquellos que tienen un número de lados igual a:
7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, …