Question

El punto medio de una cuerda de la parabola y^2= - 8x es (-4 ; 1) hallar la ecuación de dicha cuerda

Answer 1

La ecuación de la cuerda es: y= -4x - 15

Explicación:

Sean P₁(x₁, y₁) y P₂(x₂, y₂) los extremos de la cuerda. Si P(-4,1) es el punto medio de dicho segmento, se tiene:

$\frac{x_{1}+x_{2} }{2}= -4 ---> x_{1}+x_{2}=-8 \\\\\frac{y_{1}+y_{2} }{2}= 1 ---> y_{1}+y_{2}=2$

P₁ y P₂ son puntos de la parábola:

P₁(x₁, y₁) ∈ P: y² + 8x = 0 ⇒ y₁² + 8x₁ = 0

P₂(x₂, y₂) ∈ P: y² + 8x = 0 ⇒ y₂² + 8x₂ = 0

Restando ambas ecuaciones:

(y₁² - y₂² ) + 8(x₁ - x₂)=0

Lo cual puede escribirse como:

(y₁ + y₂) (y₁ - y₂) + 8(x₁ - x₂)=0

Cómo y₁ + y₂= 2, se tiene:

2(y₁ - y₂) + 8(x₁ - x₂)=0

8(x₁ - x₂)= -2(y₁ - y₂)

De la anterior expresión se puede determinar el valor de la pendiente:

m= (y₁ - y₂)/ (x₁ - x₂)= -8/2=-4

La ecuación de la cuerda es:

y- y₁ = m(x - x₁ )

y - 1= -4(x -(-4))

y= -4x -15