Question

demuestre que si 0 < x < y entonces , x < √xy < x+y/2 < y

Answer 1

Las expresiones dadas en cumplen con la demostración

Explicación paso a paso:

La manera de demostrar si se cumplen las desigualdades es la siguiente:

Generamos inecuaciones por separado:

• Si x <  y

        x + y < 2y ⇒ (x + y)/2 < y                                   (A)    

• Si 0 < x < y

        x² < xy ⇒ x < √xy                                               (B)

y como:

                                   (x - y)² > 0 ⇒ x² + y² > 2xy

sumamos 2xy a cada lado de la desigualdad

                                  x² + y² +2xy > 4xy ⇒ (x + y)² > 4xy

Aplicamos rices

                                      x + y > 2√xy ⇒ x + y / 2 > √xy

                                                √xy < (x + y)/2            (C)

luego agrupando desigualdades de las inecuaciones (A), (B) y (C),

                                       x < √xy  < (x + y)/2 < y  

Se cumple