Resolver:
En un estudio llevado a cabo por el departamento de biología, han determinado que la población de un tipo
de hormiga crece según la función f(x) = 1 + 2ex, donde f(x) indica el número de hormigas en miles y x el tiempo
transcurrido en meses.
Calcular:
a. La tasa de variación media de una población de hormigas durante los dos primeros meses.
b. La tasa de variación media de la población del tercer al sexto mes.
c. La tasa de variación instantánea de la población en el sexto mes.
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Respuestas
La tasa de variación de las hormigas en el segundo, tercer y sexto mes es: 9,34, 255,56 y 806,85 respectivamente
Dada una función f(x), llamamos tasa de variación al número que representa el aumento o disminución que experimenta la función al aumentar la variable independiente de un valor "a" a otro "b".
La tasa de variación de f(x) entre a y b (siendo a<b) es igual a f(b)-f(a).
TV[a,b]= f(b)-f(a).
La tasa de variación media de una función f(x) entre a y b (siendo a<b), la definíamos que la variación media que se producía en el intervalo:
TVM[a,b]= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
Si en lugar de "b", al segundo punto lo llamamos "a+h", la fórmula anterior quedaría así:
TVM[a,a+h]= \frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
Si manipulas los controles a y h de la derecha, puedes ver cómo cambia la TVM de esa función, pero en particular, es interesante que te fijes lo que ocurre si el intervalo donde hacemos la tasa de variación media es especialmente pequeño. Fíjate que nos reducimos practicamente al punto a. Y mientras más pequeño, más nos reducimos.
Si hacemos h muy pequeño, obtenemos una información precisa de lo que ocurre en el punto de abscisa a. Y hacer h muy pequeño, es hacerlo tender a cero. Pues bien cuando hacemos h tender a cero en la tasa de variación media, llegamos al concepto de tasa de variación instantánea.
Es decir, la tasa de variación instantánea en un punto, es el límite cuando h tienede a cero de la tasa de variación media en el intervalo [a, a+h]
TVI(a)=\lim_{h \to \0}TVM(a,a+h)=\lim_{h \to \0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
Y esto precisamente nos lleva al concepto de derivada en un punto; la variación instantánea en un punto. Así, la derivada de una función f(x) en el punto de abscisa x0, se define como el límite:
f´(x0)=\lim_{h \to \0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
Calcular:
a. La tasa de variación media de una población de hormigas durante los dos primeros meses.
TVM[1,2]= \frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{1+2e(2)-(1+2e(1))}{1}=\frac{15,78-6,44}{1}=9,34
b. La tasa de variación media de la población del tercer al sexto mes.
TVM[3,6]= \frac{f(6)-f(3)}{6-3}=\frac{1+2e(6)-(1+2e(3))}{3}=\frac{807,86-41,17}{3}=255,56
c. La tasa de variación instantánea de la población en el sexto mes.
En este caso se puede resolver hallando la derivada de f(x) y luego evaluándola en x=6 o hallando el limite cuando h tiende a cero.
1.) Por derivada
f(x) = 1 + 2ex
f´(x)=2ex
f´(6)=2e(6)=806,85
2.) por limites
TVI(6)=\lim_{h \to \0} \frac{f(6+h)-f(6)}{h}=\lim_{h \to \0} \frac{1+2e(6+h)-(1+2e(6)}{h}
Se observa que el limite es 0/0 se aplica L´hopital=g´(x)/t´(x)
TVI(6)=\lim_{h \to \0} \frac{2e(6+h)}{1}=2e(6)=806,85
Este caso por derivada es el camino mas complicado es recomendable ir por derivadas.
Respuesta:
a- tasa de variación media en los dos primeros meses o sea en el intervalo de [0,2]
TVM[0,2] =
b- tasa de variación media de la población del tercer mes, o sea en el intervalo de [2,3]
TVM[2,3] =
c- tasa de variación instantánea en el sexto mes, osea f'(x) en x = 6
en x = 6