Se quiere construir un acuario de 3 m^3 de volumen y 1,5 m de altura, donde x representa el largo y Y el ancho de la base del acuario.
a. Determina la cantidad M de metros cuadrados de vidrio necesarios, como función de x.
b. Indica el dominio de la función M(x).
c. Determina si la función M(x) es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
Respuestas
La cantidad M de metros cuadrados de vidrio necesarios para construir el acuario de 3 m³ de capacidad viene dada por la función:
M₍ₓ₎ = 2 + 3x + ⁶/ₓ
Explicación paso a paso:
a. Determina la cantidad M de metros cuadrados de vidrio necesarios, como función de x.
M será el área superficial. Esta viene dada por la suma de las áreas de cada una de las paredes y del piso, ya que el acuario no tiene tapa.
En virtud que son superficies rectangulares, el área de cada una viene dada por el producto de las medidas de sus lados.
El piso mide y de ancho y x de largo. Hay dos paredes que miden x de base y 1,5 m de altura y otras dos paredes que miden y de base y 1,5 m de altura. Por tanto, el área total (M) es:
M = xy + 2x(1,5) + 2y(1,5) = xy + 3x + 3y
Ya que las dimensiones son x de largo, y de ancho y 1,5 m de alto, el volumen se puede calcular por el producto de esas tres cantidades. Pero conocemos que el volumen es 3 m³ por lo que podemos despejar y de esa ecuación y sustituir en la expresión M.
Volumen = xy(1,5) = 3 ⇒ y = ³/₍ₓ₎₍₁,₅₎ = ²/ₓ
Sustituyendo el valor de y en la expresión M
M = x(²/ₓ) + 3x + 3(²/ₓ) ⇒
M₍ₓ₎ = 2 + 3x + ⁶/ₓ
b. Indica el dominio de la función M₍ₓ₎.
El dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable x. En este caso, x tiene que ser un número positivo, ya que representa una distancia, y debe ser distinta de cero, pues en la expresión hay un término en el que x está dividiendo. Por tanto
Dominio: x ∈ (0, +∞)
c. Determina si la función M₍ₓ₎ es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
M sería inyectiva si cada valor del conjunto contradominio es imagen de un único valor del conjunto dominio. M no cumple con esto por lo que no es inyectiva. Por ejemplo, si x = 1 o x = 2, el valor de M es el mismo, M = 11.
M sería sobreyectiva si el conjunto contradominio coincide con el rango. En este caso M no es sobreyectiva, ya que el rango son los números reales positivos y el contradominio no abarca todo ese conjunto.
M sería Biyectiva si y solo si se cumple que es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Como no cumple, M no es biyectiva.