Una fabrica posee 5 máquinas que se utilizan en la producción de cuatro artículos diferentes:
A, B, C y D. El número de horas de cada máquina es usada en la producción de una unidad
de cada uno de los cuatro productos es dada por la siguiente tabla:
Hallar el numero de unidades que se deben producir de cada uno de los productos en una semana de 5
días, sabiendo que ada máquina se unas 8 horas diarias.
![](https://es-static.z-dn.net/files/de3/de5ea9fe8bf083c1e504f7cf18a2fe27.jpg)
Respuestas
Las máquinas producen: A = 2, B = 3, C = 5, D = 0 unidades de producto en una semana de 5 días.
Explicación paso a paso:
¿Quienes son las incógnitas?
Llamaremos:
A = cantidad de productos que se elaboran en la máquina A en una semana de 5 días.
B = cantidad de productos que se elaboran en la máquina B en una semana de 5 días.
C = cantidad de productos que se elaboran en la máquina C en una semana de 5 días.
D = cantidad de productos que se elaboran en la máquina D en una semana de 5 días.
¿Cuáles son las ecuaciones?
De la información aportada, planteamos el sistema de ecuaciones:
7A + 2B + 4C + 3D = 40
4A + 4B + 4C + 5D = 40
10A + 0B + 4C + 7D = 40
9A + 4B + 2C + 11D = 40
10A + 5B + C + 13D = 40
Dado que tenemos 4 incógnitas, solo se requieren 4 ecuaciones. Por conveniencia prescindimos de la primera ecuación y resolvemos el sistema de ecuaciones por el método Gauss-Jordan:
1.- Se construye una matriz con los coeficientes del sistema y se amplia con el vector de términos independientes :
2.- Se realizan operaciones hasta lograr la forma triangular inferior de la matriz identidad. (diagonal principal rellena de unos y el resto rellena de ceros)
Multiplicamos la primera fila por ¼ para obtener uno en la primera posición de la primera fila; es decir, la esquina superior izquierda o inicio de la diagonal principal.
Con la primera fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la primera fila por -10 y sumando a la segunda fila, multiplicando la primera fila por -9 y sumando a la tercera fila, multiplicando la primera fila por -10 y sumando a la cuarta fila.
Multiplicamos la segunda fila por -¹/₁₀ para obtener uno en la segunda posición de la segunda fila.
Con la segunda fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la segunda fila por 5 y sumando a la tercera fila, multiplicando la segunda fila por 5 y sumando a la cuarta fila.
Multiplicamos la tercera fila por -¼ para obtener uno en la tercera posición de la tercera fila.
Con la tercera fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la tercera fila por 6 y sumando a la cuarta fila.
Multiplicamos la cuarta fila por -2 para obtener uno en la cuarta posición de la cuarta fila.
3.- A partir de esta matriz, se reescribe el sistema de ecuaciones recordando que las columnas corresponden a los coeficientes de las incógnitas en el orden A, B, C, D.
A + B + C + (⁵/₄)D = 10
0A + B + (³/₅)C + (¹¹/₂₀)D = 6
0A + 0B + C - (⁵/₈)D = 5
0A + 0B + 0C + D = 0
4.- De aquí:
D = 0
C - (⁵/₈)(0) = 5 ⇒ C = 5
B + (³/₅)(5) + (¹¹/₂₀)(0) = 6 ⇒ B = 3
A + (3) + (5) + (⁵/₄)(0) = 10 ⇒ A = 2
¿Cuánto produce cada máquina en una semana de 5 días?
Las máquinas producen:
A = 2 unidades/semana de 5 días,
B = 3 unidades/semana de 5 días,
C = 5 unidades/semana de 5 días,
D = 0 unidades/semana de 5 días