Question

Una fabrica posee 5 máquinas que se utilizan en la producción de cuatro artículos diferentes:
A, B, C y D. El número de horas de cada máquina es usada en la producción de una unidad
de cada uno de los cuatro productos es dada por la siguiente tabla:


Hallar el numero de unidades que se deben producir de cada uno de los productos en una semana de 5
días, sabiendo que ada máquina se unas 8 horas diarias.

Answer 1

Las máquinas producen:    A  =  2,    B  =  3,    C  =  5,    D  =  0    unidades de producto en una semana de 5 días.

Explicación paso a paso:

¿Quienes son las incógnitas?  

Llamaremos:

A  =  cantidad de productos que se elaboran en la máquina  A  en una semana de 5 días.

B  =  cantidad de productos que se elaboran en la máquina  B  en una semana de 5 días.

C  =  cantidad de productos que se elaboran en la máquina  C  en una semana de 5 días.

D  =  cantidad de productos que se elaboran en la máquina  D  en una semana de 5 días.

¿Cuáles son las ecuaciones?  

De la información aportada, planteamos el sistema de ecuaciones:

7A  +  2B  +  4C  +  3D  =  40

4A  +  4B  +  4C  +  5D  =  40

10A  +  0B  +  4C  +  7D  =  40

9A  +  4B  +  2C  +  11D  =  40

10A  +  5B  +  C  +  13D  =  40

Dado que tenemos 4 incógnitas, solo se requieren 4 ecuaciones. Por conveniencia prescindimos de la primera ecuación y resolvemos el sistema de ecuaciones por el método Gauss-Jordan:

1.- Se construye una matriz con los coeficientes del sistema y se amplia con el vector de términos independientes :

$\left[\begin{array}{ccccc}4&4&4&5&40\\10&0&4&7&40\\9&4&2&11&40\\10&5&1&13&40\end{array}\right]$

2.- Se realizan operaciones hasta lograr la forma triangular inferior de la matriz identidad. (diagonal principal rellena de unos y el resto rellena de ceros)

Multiplicamos la primera fila por  ¼  para obtener uno en la primera posición de la primera fila; es decir, la esquina superior izquierda o inicio de la diagonal principal.

$\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&\frac{5}{4}&10\\10&0&4&7&40\\9&4&2&11&40\\10&5&1&13&40\end{array}\right]$

Con la primera fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la primera fila por -10 y sumando a la segunda fila, multiplicando la primera fila por -9 y sumando a la tercera fila, multiplicando la primera fila por -10 y sumando a la cuarta fila.

$\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&\frac{5}{4}&10\\0&-10&-6&-\frac{11}{2}&-60\\0&-5&-7&-\frac{1}{4}&-50\\0&-5&-9&\frac{1}{2}&-60\end{array}\right]$

Multiplicamos la segunda fila por  -¹/₁₀  para obtener uno en la segunda posición de la segunda fila.

$\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&\frac{5}{4}&10\\0&1&\frac{3}{5}&-\frac{11}{20}&6\\0&-5&-7&-\frac{1}{4}&-50\\0&-5&-9&\frac{1}{2}&-60\end{array}\right]$

Con la segunda fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la segunda fila por 5 y sumando a la tercera fila, multiplicando la segunda fila por 5 y sumando a la cuarta fila.

$\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&\frac{5}{4}&10\\0&1&\frac{3}{5}&-\frac{11}{20}&6\\0&0&-4&\frac{5}{2}&-20\\0&0&-6&\frac{13}{4}&-30\end{array}\right]$

Multiplicamos la tercera fila por  -¼  para obtener uno en la tercera posición de la tercera fila.

$\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&\frac{5}{4}&10\\0&1&\frac{3}{5}&-\frac{11}{20}&6\\0&0&1&-\frac{5}{8}&5\\0&0&-6&\frac{13}{4}&-30\end{array}\right]$

Con la tercera fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la tercera fila por 6 y sumando a la cuarta fila.

$\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&\frac{5}{4}&10\\0&1&\frac{3}{5}&-\frac{11}{20}&6\\0&0&1&-\frac{5}{8}&5\\0&0&0&-\frac{1}{2}&0\end{array}\right]$

Multiplicamos la cuarta fila por  -2  para obtener uno en la cuarta posición de la cuarta fila.

$\left[\begin{array}{ccccc}1&1&1&\frac{5}{4}&10\\0&1&\frac{3}{5}&-\frac{11}{20}&6\\0&0&1&-\frac{5}{8}&5\\0&0&0&1&0\end{array}\right]$

3.- A partir de esta matriz, se reescribe el sistema de ecuaciones recordando que las columnas corresponden a los coeficientes de las incógnitas en el orden A, B, C, D.

A  +  B  +  C  +  (⁵/₄)D  =  10

0A  +  B  +  (³/₅)C  +  (¹¹/₂₀)D  =  6

0A  +  0B  +  C  -  (⁵/₈)D  =  5

0A  +  0B  +  0C  +  D  =  0

4.- De aquí:

D  =  0

C  -  (⁵/₈)(0)  =  5       ⇒       C  =  5

B  +  (³/₅)(5)  +  (¹¹/₂₀)(0)  =  6       ⇒       B  =  3

A  +  (3)  +  (5)  +  (⁵/₄)(0)  =  10       ⇒       A  =  2

¿Cuánto produce cada máquina en una semana de 5 días?  

Las máquinas producen:

A  =  2  unidades/semana de 5 días,

B  =  3  unidades/semana de 5 días,

C  =  5  unidades/semana de 5 días,

D  =  0  unidades/semana de 5 días