Question

hola buenos alguien me podria ayudar con esta tarea por favor
Una de las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario dice que “Los planetas se mueven en órbitas elípticas, donde el Sol precisamente se ubica en uno de sus focos”.
Se sabe que la órbita de Mercurio tiene una excentricidad de 0.206 y su semieje mayor mide 0.387 unidades astronómicas (UA).

a) Determina los elementos: vértices, focos, semieje mayor, semieje menor, eje focal, lado recto, extremos del eje menor y excentricidad de la elipse que describe la órbita de Mercurio.

b) Halla la ecuación de la órbita de Mercurio.

c) Traza un esbozo de la órbita de Mercurio, ubicando los vértices y los extremos del eje menor

Answer 1

Tomando en consideración  la definición de las Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario la ecuación buscada es \frac{x^{2} }{0,149 }+\frac{y^{2} }{0,142 }=1

Definición geométrica de una elipse

Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de distancias  desde dos puntos fijos F1 y F2 es una constante.  Estos dos puntos  fijos son los focos de la elipse.

Para obtener la ecuación más sencilla para una elipse, colocamos los focos sobre el eje x

en F1 (-c, 0) y F2 (c, 0) de modo que el origen está a la mitad entre ellos.  

La ecuación de la elipse es:

\frac{x^{2} }{a^{2} }+\frac{y^{2} }{b^{2} }=1  con a mayor que b

Para graficarla, necesitamos saber los puntos de intersección en los ejes x y y. Haciendo y=0, obtenemos

x2/a2=1 esto es x2=a2  que es igual a x=±a

Así, la elipse cruza el eje z en (a, 0) y (-a, 0). Estos puntos se llaman vértices de la elipse, y el segmento que los une se denomina eje mayor. Su longitud es 2a.

Análogamente, si hacemos x=0, obtenemos y= ±b, de modo que la elipse cruza el  eje y en (0, b) y (0, -b).

El segmento que une estos puntos recibe el nombre de eje menor  y tiene longitud 2b.

Observe que 2a > 2b, por lo cual el eje mayor es más largo que el eje  menor. El origen es el centro de la elipse.

Ecuaciones y gráficas de elipses

La ecuación de la elipse es: x2/a2+y2/b2=1  

• si a> b entonces

El vértice será : (±a,0)

Foco: (±c,0), c2=a2-b2  

Eje mayor Horizontal longitud 2a

Eje menor Vertical longitud 2b

excentricidad e=c/a

****La excentricidad de toda elipse satisface 0<e< 1.

****

• si b>a

El vértice será : (0,±b)

Foco: (0,±c),   c2=b2-a2  

Eje mayor vertical  longitud 2b

Eje menor horizontal longitud 2a

excentricidad e=c/b

***La excentricidad de toda elipse satisface 0<e< 1.

***

Las órbitas de los planetas son elipses  con el Sol en un foco. Para casi todos  los planetas, estas elipses tienen  excentricidad muy pequeña, de modo  que son casi circulares.

Datos:

Excentridad: e=0,206

y su semieje mayor es: a=0,387 UA

a.) Tenemos el semieje mayor y la excentricidad entonces, donde a es mayor que b:

e=c/a

c=e*a=0,206*0,387UA=0,080 UA

Foco: (±c,0)=(±0,80UA,0)

Semieje menor

c^{2}=a^{2}-b^{2}

b=±\sqrt{a^{2} -v^{2} } =\sqrt{0,387UA^{2}- 0,080UA^{2} }=0,379UA

Vértices: como a es mayor que b los vértices son

Vértices: (±0,387,0)

b) Halla la ecuación de la órbita de Mercurio.

La ecuación de una elipse es:

\frac{x^{2} }{a^{2} }+\frac{y^{2} }{b^{2} }

Sustituimos los valores de a y b:

\frac{x^{2} }{(0,387)^{2} }+\frac{y^{2} }{(0,379)^{2} }=1

\frac{x^{2} }{0,149 }+\frac{y^{2} }{0,142 }=1

La hallar la ecuación despejamos y

\frac{y^{2} }{0,142 }=1-\frac{x^{2} }{0,149 }

y^{2}=0,142-(0,142/0,149)x^{2}

y=±\sqrt{0,142-0,95x^{2} }

c) Traza un esbozo de la órbita de Mercurio, ubicando los vértices y los extremos del eje menor

Para esto te paso una imagen ya te indique anteriormente cuales son los vértices y el eje menor :)