Question

Podrían ayudarme con la resolución de esta integral de línea? se los agradecería mucho.​

Answer 1

Respuesta:

1.2876

 

Explicación paso a paso:

Integral de línea:

$\int\limits_C {xy} \, dS\ \ \ \ \ C:x=t^2, y=2t;\ \ \ \ \ 0\leq t\leq 1$

 

Primero se halla del diferencial de la integral dS:

$dS=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt\\\\dS=\sqrt{(\frac{d(t^2)}{dt})^2+(\frac{d(2t)}{dt})^2}dt\\\\dS=\sqrt{(2t)^2+(2)^2}dt\\\\dS=\sqrt{4t^2+4}dt\\\\\boxed{dS=2\sqrt{t^2+1}dt\\\\}$

 

Se sustituyen los valores de "x, y y dS" en la integral de línea:

$\int\limits^1_0 {(t^2)(2t)} \,2\sqrt{t^2+1}dt\\\\\int\limits^1_0 {4t^3} \,\sqrt{t^2+1}dt$

 

Se realiza un cambio de variable:

$u=t^2+1\\t^2=u-1\\du=2tdt\\\\dt=\dfrac{du}{2t}\\\\t=0\ => u=1\\t=1\ =>u=2\\\\\\\int\limits^2_1 {4(u-1)t} \,\sqrt{u}\dfrac{du}{2t}\\\\\int\limits^2_1 {2(u-1)} \,\sqrt{u}\ du=\int\limits^2_1 {2(u-1)}u^{\frac{1}{2}} \, du=2\int\limits^2_1 {[u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}}] \, du$

$2(0.4u^{\frac{5}{2}}-0.67u^{\frac{3}{2}})I^2_1\\\\\boxed{I=1.2876}$