Question

En la siguiente figura, T es el punto de intersección de los segmentos BD y EC. Si se cumple

que ZBAC = 30°, TE = TB y CT = CD. calcule la medida del ángulo ZBTC•

Answer 1

El ángulo ∡BTC vale 100º

Explicación:

Para resolver el siguiente problema, debemos tener en cuenta lo siguiente:

El ángulo ∡BTE = 180º - ∡BTC. Por lo que están sobre una misma recta

El ángulo ∡BTC = 180-∡CTD por lo que están sobre una misma recta

∡TEB = ∡TBE por ser TE = TB y ∡CTD = ∡CDT por ser CT = CD

∡ADB + ∡ABD = 150, ∡ADB = 180 - ∡CDT → 180 - ∡CDT + ∡ABD = 150 ∡CDT = ∡ABD + 30

Una vez hecho esto, resolvemos el problema de la siguiente manera

1) Hallar ∡ABD en función de ∡BTC

Por el triángulo ΔEBT, determinamos que

∡TEB + ∡TBE + ∡ETB = 180º

Pero  

∡TEB = ∡TBE

∡ETB = 180-∡BTC

Por lo que

∡TEB + ∡TBE + ∡ETB = 180º

2*∡TEB + 180 - ∡BTC= 180º

∡BTC = 2*∡TEB

o

∡TEB  = (∡BTC)/2

Pero ∡TEB = ∡TBE

que es lo mismo que ∡ABD

2) Determinar el ángulo ∡CDT en función de ∡BTC

Puesto que CD = CT

∡CDT = ∡CTD

pero, ∡CTD = 180-∡BTC

Por lo que ∡CDT = 180 - ∡BTC

3) Sabiendo que ∡CDT = 30+∡ABD sustituir las expresiones deducidas y despejar ∡BTC

Sabiendo esta dos cosas

∡CDT = 180-∡BTC

∡ADB = (∡BTC)/2

Las sustituimos en ∡CDT = 30+ ∡ADB, es decir

180-∡BTC = 30 + ∡BTC/2

Pasando ∡BTC a sumar a la derecha y 30 a restar en la izquierda, tenemos

180-30 = 150 = ∡BTC + ∡BTC/2 = (3∡BTC)/2

(3∡BTC)/2 = 150

∡BTC = 100º