Question

Un arco en forma de semielipse, tiene una luz de 24m, su altura máxima es de 8m hallar la altura del aro a una distancia de 5m de un extremo.

Answer 1

La altura del aro a una distancia de 5 m de un extremo es 6,50 m.

Explicación paso a paso:

Vamos a ubicar el arco en forma de semielipse sobre el eje  x,  de manera tal que el eje mayor coincide con la luz de 24 m, el centro coincide con el origen de coordenadas y su altura máxima (8 m) se mide sobre el eje  y  (ver figura anexa).

Ecuación Canónica de la Elipse de eje mayor horizontal:

$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

a = distancia del centro (C) a los vértices (V) sobre el eje mayor

b = distancia del centro (C) a los vértices (A) sobre el eje menor

C: (h, k)

En el caso que nos ocupa:

Centro en C=(0,0)

Conocemos: h = 0, k = 0

Eje mayor = 2a = 24 ⇒ a = 12

Semieje menor = b = 8

Ecuación Canónica: $\frac{(x-0)^{2}}{(12)^{2}}+\frac{(y-0)^{2}}{(8)^{2}}=1$

$\mathbf{\frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{64}=1}$

Ahora evaluamos la ecuación en    x  =  7    para hallar la altura del aro a una distancia de 5 m de un extremo.

$\frac{(7)^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{64}=1\qquad \Rightarrow}$

$\mathbf{y=6,50 \qquad metros}$